【计算题】 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向。大小与速度大小成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求： （1）子弹射入沙土后，速度的大小随时间变化的函数式； （2

【计算题】 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向。大小与速度大小成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求： （1）子弹射入沙土后，速度的大小随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。

子弹在沙土中运动的速度与深度分析

（1）速度随时间变化的函数式

子弹在沙土中仅受阻力作用，根据牛顿第二定律 $F = ma$，阻力 $f = -kv$（负号表示与速度方向相反），加速度 $a = \frac{dv}{dt}$。联立得微分方程：
$-kv = m \frac{dv}{dt}$
分离变量并积分：
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m} \int_{0}^{t} dt$
积分结果为 $\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{k}{m}t$，整理得速度随时间的变化规律：
$v(t) = v_0 e^{-\frac{kt}{m}}$
该式表明子弹速度按指数规律衰减，初始时刻 $t=0$ 时 $v=v_0$，随着时间增长逐渐趋近于零。

（2）子弹进入沙土的最大深度

深度 $x$ 是速度对时间的积分，即 $x = \int_{0}^{\infty} v(t)dt$（积分上限取 $\infty$ 是因为子弹最终静止时速度为零）。将 $v(t) = v_0 e^{-\frac{kt}{m}}$ 代入：
$x = \int_{0}^{\infty} v_0 e^{-\frac{kt}{m}} dt$
计算积分：
\(x = v_0 \left[ -\frac{m}{k} e^{-\frac{kt}{m}} \right]_0^{\infty} = \frac{mv_0}{k}\)

关键结论

速度随时间呈指数衰减：\(\boxed{v(t) = v_0 e^{-\frac{kt}{m}}}\)

最大深度由质量、初速度和阻力系数共同决定：\(\boxed{x_{\text{max}} = \frac{mv_0}{k}}\)

这一结果显示，子弹的停止过程具有典型的“黏性阻力”特征——速度衰减速率与瞬时速度成正比，最终位移取决于动量（\(mv_0\)）与阻力系数（\(k\)）的比值。