容斥公式（1）三集合容斥原理公式：|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|。（2）两集合容斥原理公式：|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|。（3）对

容斥公式（1）三集合容斥原理公式：|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|。（2）两集合容斥原理公式：|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|。（3）对两集合的容斥原理的推式：满足条件 1 的个数＋满足条件 2 的个数－都满足的个数＝总数－都不满足的个数＝满足至少一个条件的个 数。【例 1】某班共有 30 名男生，其中 20 人参加足球队，12 人参加篮球队，10 人参加排球队。已知没有一个 人同时参加 3 个队，且每人至少参加一个队，有 6 人既参加足球队又参加篮球队，有 2 人既参加篮球队又参加排 球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（ ）。 A. 3 人 B. 4 人 C. 6 人 D. 7 人

三集合容斥原理应用：求解多重集合交集人数

本题需通过三集合容斥原理公式计算“既参加足球队又参加排球队”的人数。已知班级男生总数为30人，且每人至少参加一个球队（即“都不参加”的人数为0），因此三个球队的总参与人数（并集）等于30人。

关键数据与公式代入

定义集合：设A=足球队（20人），B=篮球队（12人），C=排球队（10人）。

已知条件：

无一人同时参加3个队，故|A∩B∩C|=0；

既参加足球又参加篮球的人数|A∩B|=6；

既参加篮球又参加排球的人数|B∩C|=2；

设既参加足球又参加排球的人数为x（即|A∩C|=x）。

根据三集合容斥原理公式：
\(|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|\)

代入已知数据（|A∪B∪C|=30，因总人数=并集人数）：
\(30 = 20 + 12 + 10 - 6 - 2 - x + 0\)

求解过程

化简方程：
\(30 = 42 - 8 - x\)
\(30 = 34 - x\)
解得：
\(x = 34 - 30 = 4\)

答案：B. 4人

容斥原理的核心是“总人数=各集合之和-重复部分+多减部分”，本题因无三重交集，公式简化后直接求解即可。实际应用中需注意“至少参加一个”“都不参加”等条件对并集的影响。