设 是 矩阵, 是 阶可逆阵,矩阵 的秩为 ,矩阵 的秩为 ,则 ( ) A. ; B. ; C. ; D. 的关系依 而定.

设 是 矩阵, 是 阶可逆阵,矩阵 的秩为 ,矩阵 的秩为 ,则 ( ) A. ; B. ; C. ; D. 的关系依 而定.

矩阵的秩在乘以可逆矩阵后保持不变。假设 $A$ 是一个矩阵，$P$ 是可逆矩阵，无论是 $PA$（左乘）还是 $AP$（右乘），结果矩阵的秩都与原矩阵 $A$ 的秩相等。这一结论可通过以下两种视角证明：

一、初等变换的视角

可逆矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积。例如，若 $P = P_1P_2\cdots P_k$（其中 \(P_i\) 均为初等矩阵），则：

左乘 \(P\) 等价于对 \(A\) 进行 \(k\) 次初等行变换；

右乘 \(P\) 等价于对 \(A\) 进行 \(k\) 次初等列变换。

而初等行/列变换不会改变矩阵的秩，因此 \(\text{rank}(PA) = \text{rank}(A)\) 且 \(\text{rank}(AP) = \text{rank}(A)\)。

二、线性映射的视角

从线性代数的几何意义出发，矩阵 \(A\) 可视为线性映射 \(f: V \to W\)，其秩对应像空间 \(f(V)\) 的维度。可逆矩阵 \(P\) 对应同构映射（保维度的线性变换）：

左乘 \(P\) 相当于对像空间 \(f(V)\) 进行同构映射，不改变其维度；

右乘 \(P\) 相当于对定义域 \(V\) 进行同构映射，不改变像空间 \(f(V)\) 的维度。

因此，像空间的维度（即矩阵的秩）保持不变。

结论

无论可逆矩阵 \(P\) 左乘还是右乘矩阵 \(A\)，结果矩阵的秩与 \(A\) 的秩相等。即 \(\text{rank}(PA) = \text{rank}(A)\) 且 \(\text{rank}(AP) = \text{rank}(A)\)。这一性质是矩阵论中的基础结论，广泛应用于线性方程组求解、矩阵分解等领域。

答案：\(\boxed{C}\)（假设选项C为“秩相等”）