椭圆的定义如下：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，常数必须大于两焦点之间的距离。
现在推导椭圆的标准方程。
设两焦点分别为 F1(−c,0) 和 F2(c,0)，其中 c>0。
设椭圆上任意一点为 P(x,y)，它到两焦点的距离之和为常数 2a，其中 a>c>0。
根据定义有：
(x+c)2+y2
+(x−c)2+y2
=2a
将第二个根式移到右边：
(x+c)2+y2
=2a−(x−c)2+y2
两边平方：
(x+c)2+y2=4a2−4a(x−c)2+y2
+(x−c)2+y2
化简左边和右边相同的项 y2 消去，并展开平方项：
x2+2cx+c2=4a2−4a(x−c)2+y2
+x2−2cx+c2
两边消去 x2 和 c2：
2cx=4a2−4a(x−c)2+y2
−2cx
整理得：
4cx−4a2=−4a(x−c)2+y2
两边除以 4：
cx−a2=−a(x−c)2+y2
两边再平方：
(cx−a2)2=a2[(x−c)2+y2]
展开：
c2x2−2a2cx+a4=a2(x2−2cx+c2+y2)
整理项：
c2x2−2a2cx+a4=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2
两边的 −2a2cx 消去：
c2x2+a4=a2x2+a2c2+a2y2
移项：
c2x2−a2x2−a2y2=a2c2−a4(c2−a2)x2−a2y2=a2(c2−a2)
由 a>c>0，令 b2=a2−c2，则 c2−a2=−b2。代入：
−b2x2−a2y2=−a2b2
两边乘以 −1：
b2x2+a2y2=a2b2
两边除以 a2b2：
a2x2+b2y2=1
这就是椭圆的标准方程，其中 a>b>0，且 b2=a2−c2。