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分式函数怎么求导

更新时间:2026-06-13 23:08:33   栏目: 教育

分式函数的求导可以使用商数法则。

设有函数 y = u / v，其中 u 和 v 都是关于 x 的可导函数，且 v 不等于零。

它的导数公式为：
y' = (u' * v - u * v') / (v^2)

用语言描述这个计算过程是：
分子的导函数乘以分母原函数，减去分子原函数乘以分母的导函数，最后除以分母原函数的平方。

具体步骤如下：
第一步，分别求出分子函数 u 和分母函数 v 的导数 u' 和 v'。
第二步，将 u', v, u, v' 代入公式 (u'v - uv') / v^2。
第三步，对结果进行化简。

举例说明：
求函数 f(x) = (2x + 1) / (x^2 + 1) 的导数。

设 u = 2x + 1，则 u' = 2
设 v = x^2 + 1，则 v' = 2x

代入公式：
f'(x) = [2 * (x^2 + 1) - (2x + 1) * 2x] / (x^2 + 1)^2
= [2x^2 + 2 - (4x^2 + 2x)] / (x^2 + 1)^2
= (2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x) / (x^2 + 1)^2
= (-2x^2 - 2x + 2) / (x^2 + 1)^2

这就是分式函数求导的完整过程。

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