根据级数收敛与发散的定义判断下面的级数的收敛性: A. 收敛于1 B. 收敛于1/2 C. 收敛于2 D. 发散

根据级数收敛与发散的定义判断下面的级数的收敛性: A. 收敛于1 B. 收敛于1/2 C. 收敛于2 D. 发散

好的，我们先逐步推理。

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1. 题目理解

题中没有直接给出级数通项 $u_n$，而是给出了选项“收敛于 1”、“收敛于 1/2”、“收敛于 2”、“发散”四个结果。
显然，这种题一般默认是已经学过的常用级数。
结合这四个选项的数值和“按定义判断收敛性”，常见的有：

调和级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ —— 发散。

几何级数 $\sum_{n=0}^\infty a r^n$ —— $|r|<1$ 时收敛于 $\frac{a}{1-r}$。

常见有理项求和，如 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ 可裂项，结果是 $1$。

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$ 收敛于 $1$（这个是几何级数 $a=1/2, r=1/2$ 吗？不对，检查： $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1$）

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}$ 等于 $3/4$ 等——不是整数。

有可能是这些典型级数之一。

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2. 常见级数的部分和与极限

几何级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$：
部分和

$$S_N = \frac{\frac12 (1 - (\frac12)^N)}{1 - \frac12} = 1 - \frac{1}{2^N}$$

收敛于 1。

裂项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$：
部分和

$$S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$$

也收敛于 1。

这两个都是收敛于 1。

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3. 核对选项

A. 收敛于 1 —— 可能。
B. 收敛于 1/2 —— 比如 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n(2^n+1)}$ 不是常见简单形式。
C. 收敛于 2 —— 例如 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-1)}$ 或者别的。
D. 发散 —— 例如调和级数。

题中说“根据级数收敛与发散的定义判断”，也就是看 $S_N \to S$ 还是 $S_N$ 无极限。

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4. 推理题中具体级数

由于没有给出通项，我们只能推测它在考的是很基础的收敛于 1 的级数。
最典型的是 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$。
用定义：

$$S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$$

则 $S_N \to 1$，所以收敛于 1。

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如果题中实际选项是：

根据级数收敛与发散的定义判断下面的级数的收敛性：
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
A. 收敛于1 B. 收敛于1/2 C. 收敛于2 D. 发散

那么显然答案是 A。

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5. 最终选择

因为这就是教材常见题，所以

$$\boxed{A}$$

答案是 A (收敛于 1)。