四色定理(Four color theorem)又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的,其内容是“任何一张地图只用

四色定理(Four color theorem)又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的,其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”四色问题的证明进程缓慢,直到1976年,美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色,提出如下的“四色问题”:要求相邻两个面不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的染色方案有( ) A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 72种

好，我们先理清题意。

1. 几何对象
题目中说的是“底面边长互不相等的直四棱柱容器”——这意味着底面是一个四边形（且边长互不相等，因此底面形状唯一确定，不会是矩形一类特殊的对称形，不能旋转重合，即底面的四个顶点是不同的实体，不能通过旋转变成一样的情况）。
直四棱柱有：

2个底面（下底面和上底面）

4个侧面（矩形）
上下底面全等且平行。

但是！题中说“给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的 侧面和下底面 染色”——这意味着只染：
(1) 下底面（1 个面）
(2) 4 个侧面（共 4 个面）
上底面不染色。

所以总共染色的面数是 $1 + 4 = 5$ 个面。

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2. 相邻与颜色限制
“相邻两个面不得使用同一种颜色”，给定的颜色数是 4 种颜色。

注意几何结构：

下底面是一个四边形，和 4 个侧面相邻（即下底面的四条边分别连着 4 个侧面）。

侧面之间：相邻的侧面共享一条竖直棱（有公共边），且两个侧面的下边都与下底面相邻，上边都与未染色的上底面相邻，但我们不考虑上底面的颜色影响，因为上底面没染色。所以侧面之间的相邻只考虑竖直棱共边的情况。

4 个侧面围成一圈，是一个四边形环（即 1 与 2，2 与 3，3 与 4，4 与 1 相邻）。

同时每个侧面都与下底面相邻。

所以相邻关系就是：
下底面（记作 F）和 4 个侧面（记作 S1, S2, S3, S4 按顺序）都相邻；
S1 与 S2 相邻，S2 与 S3 相邻，S3 与 S4 相邻，S4 与 S1 相邻（形成一个环状相邻）。

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3. 抽象为图着色
把 5 个面看作图的顶点，相邻关系看作图的边。
这个图的形状是：

顶点 F 与 S1, S2, S3, S4 都相连。

S1—S2—S3—S4—S1 是一个四边形环（4 个顶点之间形成一个环 C4，再分别与中心 F 相连）。

即图是 轮图 W₄（中心 F，外围 4 个顶点形成一个 4 环）。

已知：
用 4 种颜色给这个图（W₄）的顶点着色，相邻顶点颜色不同，求不同的染色方案数。

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4. 染色方法（先定中心的颜色，再染环）
轮图 W₄：中心 F 有 4 种颜色可选。

选定中心颜色后，外围 C4 环（S1, S2, S3, S4 顺序相连）的着色，是一个经典的“4 个顶点的环用 4 种颜色（其中 1 种已被中心 F 用过）着色”的问题。

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设中心颜色为 A（4 种选择）。
然后对环 C4 的 4 个顶点 S1, S2, S3, S4 着色，可用的颜色：除去 A 后剩下 3 种颜色（B, C, D）加上颜色 A 可以用在环上吗？
可以。环上的顶点只能和相邻的环顶点不同色，且和中心 F 不同色，所以 S1 不能是 A（因为它与 F 相邻）吗？
注意：S1 与 F 相邻，所以 S1 不能用 A（因为 F 是 A）。所以环上的每个顶点都禁止用颜色 A（因为每个 Si 都与 F 相邻）！

因此：在中心 F 颜色定为某色（比如 1 号色）后，环上的每个顶点只能从剩下的 3 种颜色中选，而且环上相邻的 Si 和 Si+1 颜色不同，还要注意 S4 与 S1 也相邻（C4 环）。

问题转化为：用 3 种颜色给 4 个顶点的环着色，相邻不同色，有多少种？

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5. 环 C4 用 3 色着色数
经典结论：给环 $C_n$ 用 $k$ 种颜色着色，相邻不同色，方案数：

$$P(C_n, k) = (k-1)^n + (-1)^n (k-1)$$

对于 $n=4, k=3$：

$$P(C_4, 3) = (3-1)^4 + (-1)^4 (3-1) = 2^4 + 1 \times 2 = 16 + 2 = 18$$

所以环上有 18 种着色方式（对固定的中心颜色）。

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6. 考虑几何的对称性（直四棱柱）
题目中的“底面边长互不相等的直四棱柱”说明侧面长方形可能不一样宽，但是这里染色时，环 S1, S2, S3, S4 是 有顺序的区别 的（因为边长不等，所以旋转后形状不同，即 S1, S2, S3, S4 不可互换）。

所以染色方案数是：中心 F 颜色有 4 种选择，每种对应环 3 色着色 18 种。

总数为：

$$4 \times 18 = 72$$

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7. 核对答案
选项中有 72（D 选项）。

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最终答案：

$$\boxed{D}$$