设 是非零常数,伯努利双纽线方程 的极坐标方程为( ). A. B. C. D.

设 是非零常数,伯努利双纽线方程 的极坐标方程为( ). A. B. C. D.

伯努利双纽线的极坐标方程最常见形式为 $ρ^2 = 2a^2\cos2θ$，其中 $a$ 为非零常数，$ρ$ 是极径，$θ$ 是极角。这一方程由雅各布·伯努利在1694年首次系统研究并命名，其形状呈横置的“8”字，关于原点对称。

从直角坐标方程推导可验证这一结论：标准直角坐标方程为 $(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)$，利用极坐标转换公式 $x=ρ\cosθ$、$y=ρ\sinθ$ 和 $x^2+y^2=ρ^2$，代入后化简可得 $ρ^2 = 2a^2\cos2θ$ 。部分文献会根据焦距参数差异给出 $ρ^2 = a^2\cos2θ$ 的形式，但主流教材及考研数学中通常采用系数为 $2a^2$ 的形式。

方程中 $\cos2θ$ 的符号决定曲线存在范围：当 $θ \in [-\frac{π}{4}, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]$ 时，$\cos2θ \geq 0$，$ρ$ 有实数解；其余区间无轨迹。这一特性在绘制图形时需特别注意，例如使用MATLAB编程时需限制 $θ$ 的取值范围以避免复数运算错误。

若题目选项中同时出现含 $\cos2θ$ 和 $\sin2θ$ 的形式，需注意：$ρ^2 = 2a^2\sin2θ$ 表示的是旋转了45度的伯努利双纽线（竖置“8”字），而标准定义下的方程以 $\cos2θ$ 为主。因此，正确答案应为含 $\cos2θ$ 且系数为 $2a^2$ 的选项。