【计算题】 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下： 试求： 1．静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka；  2．求当输入信号为r（t）=1（t）+4t+t2时的

【计算题】 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下： 试求： 1．静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka；  2．求当输入信号为r（t）=1（t）+4t+t2时的系统的稳态误差。

要解决该问题，需先明确系统的开环传递函数 $G(s)$，因为静态误差系数和稳态误差均由其结构（尤其是积分环节个数，即系统型别 $v$）和参数决定。以下分通用方法和示例计算两部分说明，假设开环传递函数为典型形式 $G(s) = \frac{K}{s^v (s+a_1)(s+a_2)\cdots}$（$v$ 为积分环节数，即系统型别）。

一、静态误差系数计算

静态误差系数用于描述系统对不同输入信号的稳态跟踪能力，定义如下：

静态位置误差系数 $K_p$：对应阶跃输入 $r(t) = r_0 \cdot 1(t)$
$K_p = \lim_{s \to 0} G(s)$

静态速度误差系数 $K_v$：对应斜坡输入 $r(t) = r_1 \cdot t$
$K_v = \lim_{s \to 0} sG(s)$

静态加速度误差系数 $K_a$：对应抛物线输入 $r(t) = r_2 \cdot \frac{t^2}{2}$
$K_a = \lim_{s \to 0} s^2G(s)$

二、稳态误差计算

单位反馈系统的稳态误差 $e_{ss}$ 与输入信号分解后的各分量相关：
若输入 $r(t) = r_0 \cdot 1(t) + r_1 \cdot t + r_2 \cdot \frac{t^2}{2}$，则：
\(e_{ss} = \frac{r_0}{1+K_p} + \frac{r_1}{K_v} + \frac{r_2}{K_a}\)
（注：若输入含 \(t^2\) 项，需改写为 \(r(t) = r_2' \cdot t^2\)，此时 \(r_2 = 2r_2'\)，因标准抛物线输入为 \(\frac{t^2}{2}\)）

示例：假设开环传递函数 \(G(s) = \frac{10}{s(s+1)(s+2)}\)

1. 确定系统型别

分母含 \(s^1\)，即 \(v=1\)（I型系统，1个积分环节）。

2. 计算静态误差系数

\(K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{10}{s(s+1)(s+2)} = \infty\)（分母含 \(s\)，趋于0时整体无穷大）

\(K_v = \lim_{s \to 0} sG(s) = \lim_{s \to 0} \frac{10}{(s+1)(s+2)} = \frac{10}{1 \cdot 2} = 5\)

\(K_a = \lim_{s \to 0} s^2G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{10s}{(s+1)(s+2)} = 0\)（分子含 \(s\)，趋于0）

3. 输入信号分解与稳态误差

输入 \(r(t) = 1(t) + 4t + t^2\)，分解为：

阶跃分量：\(r_0 = 1\)（对应 \(1(t)\)）

斜坡分量：\(r_1 = 4\)（对应 \(4t\)）

抛物线分量：\(r(t) = t^2 = 2 \cdot \frac{t^2}{2}\)，故 \(r_2 = 2\)

代入误差公式：
\(e_{ss} = \frac{1}{1+\infty} + \frac{4}{5} + \frac{2}{0} = 0 + 0.8 + \infty = \infty\)

关键结论

系统型别决定误差特性：0型系统无法跟踪斜坡输入，I型系统无法跟踪加速度输入（稳态误差无穷大），II型系统可跟踪加速度输入但需足够大的 。

实际计算需替换具体 ：若开环传递函数为II型（如 ），则 ( K_