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实对称矩阵的特征值全为实数 A. 正确 B. 错误
实对称矩阵的特征值全为实数 A. 正确 B. 错误
实对称矩阵的特征值全为实数，这是线性代数中的基本定理。其核心逻辑在于利用复数共轭和矩阵对称性进行推导：设λ为实对称矩阵A的特征值，x为对应特征向量（可能为复向量），则有Ax=λx。对等式两边取共轭转置（因A实对称，有Aᵀ=A且元素为实数），可得x̄ᵀA = λ̄x̄ᵀ，再右乘x得到x̄ᵀAx=λ̄x̄ᵀx。同时，由Ax=λx可知x̄ᵀAx=λx̄ᵀx，联立两式得λx̄ᵀx=λ̄x̄ᵀx。因x非零，x̄ᵀx（各分量模平方和）为正实数，故λ=λ̄，即λ必为实数。
答案：A.正确
这一性质使实对称矩阵在实际应用中具有良好性质，例如可正交对角化，广泛用于物理、工程等领域的模型构建。
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