求摆线一拱的弧长等于（）. A. B. C. D.

摆线一拱的弧长为 8a（其中 $a$ 为生成圆的半径）。这一结论由17世纪英国科学家克里斯多佛·雷恩通过几何推导得出，其数值等于生成圆直径的4倍（即 $4 \times 2a = 8a$ ）。

摆线的参数方程为 $x = a(\theta - \sin\theta)$ 和 $y = a(1 - \cos\theta)$ ，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$ 对应曲线的一拱。计算弧长时，需先对参数方程求导：

$x'(\theta) = a(1 - \cos\theta), \quad y'(\theta) = a\sin\theta$

代入弧长公式 $L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2} d\theta$ ，化简被积函数：

$\sqrt{[a(1 - \cos\theta)]^2 + [a\sin\theta]^2} = a\sqrt{2 - 2\cos\theta} = 2a\sin\frac{\theta}{2} \quad (\theta \in [0, 2\pi])$

积分结果为：

$L = \int_{0}^{2\pi} 2a\sin\frac{\theta}{2} d\theta = 8a$

这一推导过程在高等数学教材中被广泛引用，且与摆线“拱下面积为 $3\pi a^2$”（即生成圆面积的3倍）共同构成其核心几何性质。

从历史角度看，摆线因17世纪数学家对其性质的争议被称为“几何学中的海伦”，而雷恩发现的弧长公式至今仍是曲线积分的经典案例。若选项中包含“8a”或“8r”（$r$ 为半径），即为正确答案。

求摆线 一拱的弧长等于（ ）. A. B. C. D.