关于收敛数列，下列叙述正确的是（） A. 有界数列必收敛 B. 收敛数列必单调 C. 单调数列必收敛 D. 收敛数列必有界

关于收敛数列，下列叙述正确的是（） A. 有界数列必收敛 B. 收敛数列必单调 C. 单调数列必收敛 D. 收敛数列必有界

收敛数列必有界，这是数列收敛的基本性质之一。根据定义，若数列$\{x_n\}$收敛于$x$，则存在正整数$N$，使得当$n>N$时，所有$x_n$都落在区间$(x-1, x+1)$内。而数列的前$N$项为有限个数值，必然存在最大值和最小值，因此整个数列可被这两部分的界所限制，即存在常数$m$和$M$，使得对所有$n$都有$m \leq x_n \leq M$。

选项分析：

A. 有界数列必收敛
错误。反例如\(\{(-1)^n\}\)，该数列始终在\(-1\)和\(1\)之间波动，有界但不收敛。

B. 收敛数列必单调
错误。收敛数列未必单调，例如\(\{(-1)^n/n\}\)，其项交替正负但极限为\(0\)，显然不单调。

C. 单调数列必收敛
错误。单调数列若无界则不收敛，例如\(\{n\}\)单调递增但趋于无穷大。只有单调有界数列才一定收敛，这是单调收敛定理的核心结论。

D. 收敛数列必有界
正确。如前文所述，收敛数列的所有项最终会被限制在极限值附近的有限区间内，结合前有限项的有界性，整体必然有界。

这一结论体现了收敛性对数列取值范围的严格约束：收敛意味着“稳定”，而稳定必然伴随“有界”。但反之不成立，有界仅表明数列不会“跑向无穷”，却不能保证其趋向确定值。思考：能否构造一个有界、非单调但收敛的数列？（提示：考虑\(\{1/n \cdot \sin n\}\)）