对线性系统的状态空间表达式进行非奇异线性变换 ,下述说法错误的是 A. 非奇异线性变换不改变系统的状态空间描述； B. 矩阵P是同一线性空间两组不同状态变量之间的线性变换矩阵； C. 非奇异线性变换不

对线性系统的状态空间表达式进行非奇异线性变换 ,下述说法错误的是 A. 非奇异线性变换不改变系统的状态空间描述； B. 矩阵P是同一线性空间两组不同状态变量之间的线性变换矩阵； C. 非奇异线性变换不改变系统的传递函数矩阵； D. 非奇异线性变换不改变系统的特征根；

要判断关于线性系统状态空间表达式非奇异线性变换的错误说法，需先明确其核心性质：非奇异线性变换（通过可逆矩阵$P$将状态向量$x$变换为$z=Px$）会改变系统矩阵的具体形式，但保持系统的本质特性不变。以下是各选项分析：

选项A

“非奇异线性变换不改变系统的状态空间描述”
状态空间描述由矩阵组\((A,B,C,D)\)定义。变换后，新矩阵为\(A'=PAP^{-1}\)、\(B'=PB\)、\(C'=CP^{-1}\)（\(D\)不变），显然\(A',B',C'\)与原矩阵\(A,B,C\)不同。因此，状态空间描述的具体形式发生了改变，只是这种改变是等价变换（保持系统动态特性）。该说法错误。

选项B

“矩阵\(P\)是同一线性空间两组不同状态变量之间的线性变换矩阵”
非奇异线性变换的本质是在同一状态空间内选择不同基向量描述状态，即原状态\(x\)与新状态\(z\)满足\(z=Px\)，其中\(P\)为基变换矩阵（非奇异保证可逆）。该说法正确。

选项C

“非奇异线性变换不改变系统的传递函数矩阵”
传递函数矩阵定义为\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)。变换后，新传递函数矩阵为：

\(G'(s)=C'(sI-A')^{-1}B'+D=CP^{-1}(sI-PAP^{-1})^{-1}PB+D\)

由于\((sI-PAP^{-1})=P(sI-A)P^{-1}\)，其逆矩阵为\(P(sI-A)^{-1}P^{-1}\)，代入后可得\(G'(s)=G(s)\)。传递函数矩阵不变，该说法正确。

选项D

“非奇异线性变换不改变系统的特征根”
系统特征根即矩阵\(A\)的特征值。变换后\(A'=PAP^{-1}\)，与\(A\)为相似矩阵，而相似矩阵具有相同特征值。特征根不变，该说法正确。

错误说法：A

思考：非奇异线性变换为何被称为“等价变换”？尽管状态空间描述的形式改变，但其核心在于保持系统的输入-输出特性（如传递函数）和内部稳定性（如特征根）不变，这为简化系统分析（如化为对角标准型）提供了理论基础。