已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|，当A、B两点都不在原点时

已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|，当A、B两点都不在原点时
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|
利用上述结论，请结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示-1和-3的两点之间的距离是______
（2）若数轴上有理数x满足|x-1|+|x+2|=5，则有理数x为______
（2）数轴上表示a和-1的点的距离可表示为|a+1|，表示a和3的点距离表示为|a-3|，当|a+1|+|a-3|取最小值时，有理数a的范围是______，最小值是______．
 
 

主要考察对数轴上两点距离公式 |AB| = |a - b| 的理解和运用。下面我们来逐步解析。

 （1）计算两点距离

这直接应用题目给出的结论：数轴上两点之间的距离等于它们所表示数的差的绝对值。

• 表示 2 和 -5 的两点间距离：|2 - (-5)| = |2 + 5| = |7| = 7 表示 -1 和 -3 的两点间距离：|(-1) - (-3)| = |-1 + 3| = |2| = 2 所以，第一空的答案是 7，第二空是 2。

 （2）求解方程 |x - 1| + |x + 2| = 5

这个式子 |x - 1| + |x + 2| 的几何意义是：数轴上点 x 到点 1 的距离与到点 -2 的距离之和 。题目要求这个距离之和等于 5。

点 1 和点 -2 之间的距离是 |1 - (-2)| = 3。要使到两点的距离之和为 5（大于3），点 x 就不可能位于 -2 和 1 之间（因为在此区间内距离和恒为3），而必须在这两个点的外侧 。

• 当点 x 在 1 的右侧时：方程可以写为 (x - 1) + (x - (-2)) = 5，即 2x + 1 = 5，解得 x = 2。

• 当点 x 在 -2 的左侧时：方程可以写为 (1 - x) + (-2 - x) = 5，即 -2x -1 = 5，解得 x = -3。

所以，有理数 x 为 2 或 -3 。

 （3）求 |a + 1| + |a - 3| 的最小值及对应的 a

这个式子 |a + 1| + |a - 3| 表示点 a 到点 -1 和点 3 的距离之和 。

一个重要的结论是：在数轴上，当动点位于两个定点之间时，它到这两个定点的距离之和最小，这个最小值就等于两个定点之间的距离 。

• 最小值：点 -1 和点 3 之间的距离是 |3 - (-1)| = 4。所以，|a + 1| + |a - 3| 的最小值是 4 。

• 有理数 a 的范围：当点 a 在点 -1 和点 3 构成的线段上（包括端点）时，都可以取到这个最小值 。因此，a 的范围是 -1 ≤ a ≤ 3 。

 核心思路总结与延伸

这类问题的核心在于理解绝对值的几何意义——距离。

• 一个绝对值：如 |x - c|，表示点 x 到点 c 的距离。

• 多个绝对值相加：如 |x - m| + |x - n| (m < n)，表示点 x 到点 m 和点 n 的距离和。

  • 当 x 在 m 左侧或 n 右侧时，距离和大于 m、n 两点间的距离。

  • 当 x 在线段 [m, n] 上时，距离和取得最小值，最小值就是 |m - n| 。