某商店销售一种成本为40元/千克的商品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg售价每涨价1元，月销售量将减少10kg．（10分）

某商店销售一种成本为40元/千克的商品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg售价每涨价1元，月销售量将减少10kg．（10分） （1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位元/千克）之间的函数解析式 （2）当销售价定为55元时，求月销售量和销售利润． （3）使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元． （4）当售价定多少元时会获得最大利润并求出最大利润． 

整个问题的核心是找出售价、销量和利润之间的数学关系。

1）建立利润函数

首先，我们需要找到月销售利润 y（元）与售价 x（元/千克）之间的函数关系。

• 月销售量关系：根据题意，售价在50元的基础上每涨价1元，月销售量就减少10kg。因此，月销售量可以表示为：500−10(x−50)。这个式子可以简化为：

  月销售量月销售量=−10x+1000

• 单件利润：每卖出一千克商品的利润是售价减去成本，即 (x−40) 元。

• 总利润函数：月销售总利润 y 等于单件利润乘以月销售量：

  y=(x−40)×(−10x+1000)

  将上式展开并整理，就得到了我们需要的二次函数解析式：

  y=−10x2+1400x−40000

（2）计算特定售价下的情况

当销售单价定为55元时，我们可以直接代入上面得到的关系式计算。

• 月销售量：代入公式 −10x+1000：

  −10×55+1000=−550+1000=450 kg

• 月销售利润：可以代入利润函数计算，也可以用（售价-成本）× 销售量：

  元(55−40)×450=15×450=6750 元

（3）求解目标利润下的售价

现在，我们需要求当利润 y=8000 元时，售价 x 是多少。即解方程：

−10x2+1400x−40000=8000

将方程整理为标准形式：

−10x2+1400x−48000=0

两边同时除以 -10 简化计算：

x2−140x+4800=0

解这个一元二次方程，可以使用求根公式 x=−b±b2−4ac2a （其中 a=1, b=-140, c=4800）：

x=140±(−140)2−4×1×48002=140±19600−192002=140±4002=140±202

解得两个根为：

x1=140+202=80,x2=140−202=60

因此，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为 60元或80元。

 （4）求最大利润及其售价

利润函数 y=−10x2+1400x−40000 是一个开口向下的抛物线（因为 x2 的系数 -10 < 0），其顶点对应的横坐标就是能获得最大利润的售价。

顶点横坐标公式为 x=−b2a，其中 a = -10, b = 1400：

x=−14002×(−10)=140020=70

所以，当售价定为 70元 时，利润最大

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。将 x=70 代入利润函数，即可求出最大利润：

y=−10×(70)2+1400×70−40000=−10×4900+98000−40000=−49000+58000=9000

最大利润为 9000元。

 总结

这道题清晰地展示了如何利用二次函数模型来解决最优化问题。理解销量随售价变化的规律，并正确建立函数关系是解题的关键。最后利用二次函数的性质，可以轻松找到最优解。