设f。g是复合函数，证明： ①若f。g是满射的，则f是满射的。 ②若f。g是单射的，则g是单射的。 ③若f。g是双射的，则f是满射而g是单射的。

设f。g是复合函数，证明： ①若f。g是满射的，则f是满射的。 ②若f。g是单射的，则g是单射的。 ③若f。g是双射的，则f是满射而g是单射的。
以下证明均设
g∶A→B，f∶B→C，
复合函数记为 f∘g∶A→C，(f∘g)(a)=f(g(a))。
① 若 f∘g 是满射，则 f 是满射。
证：任取 c∈C，因 f∘g 满射，存在 a∈A 使 f(g(a))=c。令 b=g(a)∈B，则 f(b)=c。于是每个 c 都有原像 b∈B，故 f 满射。
② 若 f∘g 是单射，则 g 是单射。
证：设 g(a₁)=g(a₂)（a₁,a₂∈A）。两边作用 f 得 f(g(a₁))=f(g(a₂))，即 (f∘g)(a₁)=(f∘g)(a₂)。由 f∘g 单射得 a₁=a₂，故 g 单射。
③ 若 f∘g 是双射，则 f 满射且 g 单射。
证：双射⇒既满又单。由①得 f 满射；由②得 g 单射。