求双纽线(χ 2 ＋y 2 ) 2 ＝a 2 (χ 2 －y 2 )所围成的面积．

要求双纽线 $(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)$ 所围成的面积，我们首先需要对这个方程进行一些代数变形和几何分析。

给定的方程是：

(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)

我们可以展开左边的平方：

(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4

右边则是：

a^2 (x^2 - y^2) = a^2x^2 - a^2y^2

因此，方程变为：

x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = a^2x^2 - a^2y^2

整理得到：

x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - a^2x^2 + a^2y^2 = 0

由于方程涉及 $x^2$ 和 $y^2$ ，可以尝试使用极坐标系统来简化问题。在极坐标中， $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$ ，因此：

x^2 + y^2 = r^2

代入原方程，得到：

(r^2)^2 = a^2(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)

即：

r^4 = a^2r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

再整理一下：

r^2 = a^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

利用三角恒等式 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ ，我们有：

r^2 = a^2 \cos 2\theta

因此：

r = a \sqrt{\cos 2\theta}

$r(\theta)$

A = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 \, d\theta

$\theta$

$因此，面积为：$

A = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \, d\theta

$我们可以计算这个积分：$

\int \cos 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta

$因此：$

A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}

$代入上下限：$

A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \left[ \frac{1}{2} (\sin \frac{\pi}{2} - \sin (-\frac{\pi}{2})) \right]

$所围成的面积为：$

A = \frac{a^2}{2}