好的，以下是三角函数半角公式的详细推导过程，全程使用纯文本，不包含任何符号。

半角公式，顾名思义，就是用角α的三角函数来表示其半角（α/2）的三角函数。推导的核心基础是余弦函数的二倍角公式。

1. 余弦的半角公式

我们从余弦的二倍角公式开始：
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
同时，它还有另一种形式：
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ

现在，令 θ = α/2，那么 2θ = α。
代入第一个公式：
cos(α) = 2cos²(α/2) - 1

我们的目标是解出 cos(α/2)。对上式进行移项：
2cos²(α/2) = 1 + cos(α)
两边同时除以2：
cos²(α/2) = (1 + cos(α)) / 2
最后，对等式两边开平方根，得到余弦的半角公式：
cos(α/2) = ± √((1 + cos(α)) / 2)

这里的正负号（±）取决于角α/2所在的象限，需要根据具体问题判断。

2. 正弦的半角公式

我们使用余弦二倍角公式的另一种形式：
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
同样，令 θ = α/2，则 2θ = α。
代入公式：
cos(α) = 1 - 2sin²(α/2)

我们的目标是解出 sin(α/2)。对上式进行移项：
2sin²(α/2) = 1 - cos(α)
两边同时除以2：
sin²(α/2) = (1 - cos(α)) / 2
最后，对等式两边开平方根，得到正弦的半角公式：
sin(α/2) = ± √((1 - cos(α)) / 2)

同样，正负号（±）取决于角α/2所在的象限。

3. 正切的半角公式

正切函数定义为正弦除以余弦，所以我们可以直接将上面推导出的两个公式相除：
tan(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2) = [ ± √((1 - cos(α)) / 2) ] / [ ± √((1 + cos(α)) / 2) ]

由于两个根号前的正负号相同（因为同一个角α/2的正弦和余弦符号关系是确定的），它们会相互抵消。将两个分式合并到一个根号内：
tan(α/2) = ± √( (1 - cos(α)) / (1 + cos(α)) )

这是正切半角公式的一种形式。为了得到更常用的形式，我们可以对其进行有理化。

首先，对根号内的分子分母同时乘以 (1 + cos(α))：
tan(α/2) = ± √( (1 - cos(α))(1 + cos(α)) / (1 + cos(α))² )
利用平方差公式 (a-b)(a+b) = a² - b²，分子变为 1 - cos²(α)。
我们知道 1 - cos²(α) = sin²(α)。
所以：
tan(α/2) = ± √( sin²(α) / (1 + cos(α))² )
将分子和分母分别开方：
tan(α/2) = ± ( |sin(α)| / (1 + cos(α)) )

在通常情况下，我们假设α的取值范围使得sin(α)为正（例如α在0到π之间），这样可以去掉绝对值并保留正号，得到一个非常简洁且常用的形式：
tan(α/2) = sin(α) / (1 + cos(α))

另一种常见形式可以通过对原始形式有理化分子得到。我们从原始形式开始：
tan(α/2) = ± √( (1 - cos(α)) / (1 + cos(α)) )
这次，对分子和分母同时乘以 (1 - cos(α))：
tan(α/2) = ± √( (1 - cos(α))² / ((1 + cos(α))(1 - cos(α))) )
分母利用平方差公式： (1 + cos(α))(1 - cos(α)) = 1 - cos²(α) = sin²(α)
所以：
tan(α/2) = ± √( (1 - cos(α))² / sin²(α) )
开方后得到：
tan(α/2) = ± ( (1 - cos(α)) / |sin(α)| )
同样，在sin(α)为正的常规条件下，可以写作：
tan(α/2) = (1 - cos(α)) / sin(α)

总结

三角函数半角公式如下：

正弦半角公式： sin(α/2) = ± √((1 - cos(α)) / 2)

余弦半角公式： cos(α/2) = ± √((1 + cos(α)) / 2)

正切半角公式：
tan(α/2) = ± √((1 - cos(α)) / (1 + cos(α)))
或者
tan(α/2) = sin(α) / (1 + cos(α))
或者
tan(α/2) = (1 - cos(α)) / sin(α)

在所有公式中，正负号（±）的选择取决于半角α/2所在的象限。