以下为反三角函数公式及其与三角函数的转换公式。

1. 反三角函数定义及基本关系

1.1 反正弦函数（Arcsine）

定义：$y = \arcsin(x) \iff x = \sin(y), \quad y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], \quad x \in [-1, 1]$

基本关系：

$$\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$$$\sin(\arcsin(x)) = x, \quad x \in [-1, 1]$$$$\arcsin(\sin(y)) = y, \quad y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$

 

1.2 反余弦函数（Arccosine）

定义：$y = \arccos(x) \iff x = \cos(y), \quad y \in [0, \pi], \quad x \in [-1, 1]$

基本关系：

$$\cos(\arccos(x)) = x, \quad x \in [-1, 1]$$$$\arccos(\cos(y)) = y, \quad y \in [0, \pi]$$

 

1.3 反正切函数（Arctangent）

定义：$y = \arctan(x) \iff x = \tan(y), \quad y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), \quad x \in \mathbb{R}$

基本关系：

$$\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$$$$\tan(\arctan(x)) = x, \quad x \in \mathbb{R}$$$$\arctan(\tan(y)) = y, \quad y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$

 

1.4 反余切函数（Arccotangent）

定义：$y = \text{arccot}(x) \iff x = \cot(y), \quad y \in (0, \pi), \quad x \in \mathbb{R}$

基本关系：

$$\cot(\text{arccot}(x)) = x, \quad x \in \mathbb{R}$$$$\text{arccot}(\cot(y)) = y, \quad y \in (0, \pi)$$

 

2. 反三角函数恒等式

2.1 负自变量关系

$$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$$$$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$$$$\arctan(-x) = -\arctan(x)$$$$\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot}(x)$$

2.2 互补关系

$$\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$$$\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$$

2.3 和差公式

$$\arcsin(x) + \arcsin(y) = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \quad x^2+y^2 \leq 1$$

+y1−x2

−y1−x2

1−y2

1−y2

2.4 倍角公式

),∣x∣≤2

3. 反三角函数与三角函数的转换

3.1 三角函数作用于反三角函数

x,∣x∣<1

3.2 反三角函数之间的转换

)=arctan(1−x2

)=arctan(x1−x2

x)=arccos(1+x2

以上为反三角函数的主要公式及其与三角函数的转换关系。