2023年全国乙卷数学真题及答案解析（含文理科）

2023年全国普通高等学校招生统一考试全国乙卷包括文科数学和理科数学。以下为该年度两套试卷的真题及解析，适用于河南、江西、陕西、甘肃、青海、宁夏、内蒙古、新疆等省份的考生参考。

一、2023年全国乙卷文科数学真题及解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2 + i^2 + 2i^3 = ( )
A. 1
B. 2
C. √5
D. 5

【答案】C
【解析】由题意可得 2 + i^2 + 2i^3 = 2 - 1 - 2i = 1 - 2i，则 |2 + i^2 + 2i^3| = |1 - 2i| = √(1^2 + (-2)^2) = √5。故选C。

设全集 U = {0,1,2,4,6,8}，集合 M = {0,4,6}，N = {0,1,6}，则 M ∪ (∁U N) = ( )
A. {0,2,4,6,8}
B. {0,1,4,6,8}
C. {1,2,4,6,8}
D. U

【答案】A
【解析】由题意可得 ∁U N = {2,4,8}，则 M ∪ (∁U N) = {0,2,4,6,8}。故选A。

如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30

【答案】D
【解析】如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 2，AA1 = 3，点 H，I，J，K 为所在棱上靠近点 B1，C1，D1，A1 的三等分点，O，L，M，N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体 ABCD - A1B1C1D1 去掉长方体 ONIC1 - LMHB1 之后所得的几何体。该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2 × (2 × 2) + 4 × (2 × 3) - 2 × (1 × 1) = 30。故选D。

在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a cos B - b cos A = c，且 C = π/5，则 B = ( )
A. π/10
B. π/5
C. 3π/10
D. 2π/5

【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得 sin A cos B - sin B cos A = sin C，即 sin(A - B) = sin C，由于 A，B，C ∈ (0, π)，故 A - B = C 或 A - B = π - C（舍），所以 A = B + C，又 A + B + C = π，则 B + C + B + C = π，即 2B + 2C = π，解得 B = π/2 - C = π/2 - π/5 = 3π/10。故选C。

已知 f(x) = (x e^x) / (e^(ax) - 1) 是偶函数，则 a = ( )
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

【答案】D
【解析】因为 f(x) = (x e^x) / (e^(ax) - 1) 为偶函数，则 f(x) - f(-x) = 0，又因为 x 不恒为0，可得 e^x / (e^(ax) - 1) + e^(-x) / (e^(-ax) - 1) = 0，整理得 (e^x (e^(ax) - 1) + e^(-x) (e^(ax) - 1)) / ((e^(ax) - 1)(e^(-ax) - 1)) = 0，化简得 (e^(ax) - 1)(e^x + e^(-x)) = 0，即 e^(ax) = 1，所以 a = 2。故选D。

正方形 ABCD 的边长是2，E 是 AB 的中点，则 (向量EC) · (向量ED) = ( )
A. √5
B. 3
C. 2√5
D. 5

【答案】B
【解析】方法一：以 {向量AB，向量AD} 为基底向量，可知 |向量AB| = |向量AD| = 2，向量AB · 向量AD = 0，则 向量EC = 向量EB + 向量BC = (1/2)向量AB + 向量AD，向量ED = 向量EA + 向量AD = -(1/2)向量AB + 向量AD，所以 向量EC · 向量ED = (-(1/4)|向量AB|^2 + |向量AD|^2) = -1 + 4 = 3。故选B。

设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域 {(x,y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4} 内随机取一点 A，则直线 OA 的倾斜角不大于 π/4 的概率为 ( )
A. 1/8
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/2

【答案】C
【解析】因为区域 {(x,y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4} 表示以 O(0,0) 为圆心，外圆半径 R=2，内圆半径 r=1 的圆环，则直线 OA 的倾斜角不大于 π/4 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ∠MON = π/4，结合对称性可得所求概率 P = (π/4 × 2) / (2π) = 1/4。故选C。

函数 f(x) = x^3 + ax + 2 存在3个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A. (-∞, -2)
B. (-∞, -3)
C. (-4, -1)
D. (-3, 0)

【答案】B
【解析】f'(x) = 3x^2 + a，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则 a < 0，令 f'(x) = 0，解得 x = ±√(-a/3)，且当 x ∈ (-∞, -√(-a/3)) 时，f'(x) > 0，当 x ∈ (-√(-a/3), √(-a/3)) 时，f'(x) < 0，当 x ∈ (√(-a/3), +∞) 时，f'(x) > 0，故 f(x) 的极大值为 f(-√(-a/3))，极小值为 f(√(-a/3))。若要存在3个零点，则 f(-√(-a/3)) > 0 且 f(√(-a/3)) < 0，即 (-√(-a/3))^3 + a(-√(-a/3)) + 2 > 0 且 (√(-a/3))^3 + a(√(-a/3)) + 2 < 0，解得 a < -3。故选B。

某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为 ( )
A. 5/6
B. 2/3
C. 1/2
D. 1/3

【答案】A
【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有 6 × 6 = 36 种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有 6 × 5 = 30 种，则其概率为 30/36 = 5/6。故选A。

已知函数 f(x) = sin(ωx + φ) 在区间 [π/6, 2π/3] 单调递增，直线 x = π/6 和 x = 2π/3 为函数 y = f(x) 的图像的两条对称轴，则 f(-5π/12) = ( )
A. -√3/2
B. -1/2
C. 1/2
D. √3/2

【答案】D
【解析】因为 f(x) = sin(ωx + φ) 在区间 [π/6, 2π/3] 单调递增，所以 T/2 = 2π/3 - π/6 = π/2，且 ω > 0，则 T = π，ω = 2π/T = 2，当 x = π/6 时，f(x) 取得最小值，则 2 × π/6 + φ = 2kπ - π/2，k ∈ Z，则 φ = 2kπ - 5π/6，k ∈ Z，不妨取 k = 0，则 f(x) = sin(2x - 5π/6)，则 f(-5π/12) = sin(-5π/6 - 5π/6) = sin(-5π/3) = sin(π/3) = √3/2。故选D。

已知实数 x，y 满足 x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0，则 x - y 的最大值是 ( )
A. 1 + (3√2)/2
B. 4
C. 1 + 3√2
D. 7

【答案】C
【解析】法一：令 x - y = t，则 x = y + t，代入原式化简得 2y^2 + 2(t - 3)y + t^2 - 4t - 4 = 0，因为存在实数 y，则 Δ = 4(t - 3)^2 - 8(t^2 - 4t - 4) ≥ 0，即 -4t^2 + 8t + 68 ≥ 0，化简得 t^2 - 2t - 17 ≤ 0，解得 1 - 3√2 ≤ t ≤ 1 + 3√2，故 x - y 的最大值是 1 + 3√2。故选C。

设 A，B 为双曲线 x^2 - y^2/9 = 1 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是 ( )
A. (1,1)
B. (-1,2)
C. (1,3)
D. (-1,-4)

【答案】D
【解析】设 A(x1, y1)，B(x2, y2)，则 AB 的中点 M(x0, y0)，可得 kAB = (y1 - y2)/(x1 - x2) = (9(x1 + x2))/(y1 + y2) = (9x0)/y0。对于选项 A：可得 kAB = 9，则直线 AB 的方程为 y = 9x - 8，联立方程 { y = 9x - 8, x^2 - y^2/9 = 1 }，消去 y 得 72x^2 - 2×9×8x + 73 = 0，此时 Δ < 0，所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 A 错误；对于选项 D：kAB = 9/4，则直线 AB 的方程为 y + 4 = (9/4)(x + 1)，联立方程，消去 y 得 7x^2 - 14x - 5 = 0，此时 Δ > 0，故直线 AB 与双曲线有交两个交点，故 D 正确。故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

已知点 A(1, √5) 在抛物线 C：y^2 = 2px 上，则 A 到 C 的准线的距离为______。
【答案】9/4
【解析】由题意可得 (√5)^2 = 2p × 1，则 p = 5/2，抛物线的方程为 y^2 = 5x，准线方程为 x = -5/4，点 A 到 C 的准线的距离为 1 - (-5/4) = 9/4。

若 θ ∈ (0, π/2)，tan θ = 1/2，则 sin θ - cos θ = ______。
【答案】-√5/5
【解析】因为 tan θ = 1/2，则 sin θ = (1/2) cos θ，又因为 sin^2 θ + cos^2 θ = 1，则 (1/4)cos^2 θ + cos^2 θ = 1，且 θ ∈ (0, π/2)，解得 cos θ = 2√5/5，sin θ = √5/5，所以 sin θ - cos θ = √5/5 - 2√5/5 = -√5/5。

若 x，y 满足约束条件 x - 3y ≤ -1，x + 2y ≤ 9，3x + y ≥ 7，则 z = 2x - y 的最大值为______。
【答案】8
【解析】作出可行域，联立 { x - 3y = -1, x + 2y = 9 }，解得 { x = 5, y = 2 }，设 z = 2x - y，显然平移直线使其经过点 (5,2)，此时截距最小，则 z 最大，代入得 z_max = 2 × 5 - 2 = 8。

已知点 S，A，B，C 均在半径为 2 的球面上，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，SA ⊥ 平面 ABC，则 SA = ______。
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥 S-ABC 转化为直三棱柱，设 △ABC 的外接圆圆心为 O1，半径为 r，则 2r = 3/sin 60° = 2√3，可得 r = √3，设三棱锥的外接球球心为 O，连接 OA，OO1，则 OA = 2，OO1 = SA/2，因为 OA^2 = OO1^2 + r^2，即 4 = (SA/2)^2 + 3，解得 SA = 2。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（12分）
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi，yi（i=1,2,...,10）。试验结果如下：
试验序号i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
伸缩率xi: 545, 533, 551, 522, 575, 544, 541, 568, 596, 548
伸缩率yi: 536, 527, 543, 530, 560, 533, 522, 550, 576, 536
记 zi = xi - yi（i=1,2,...,10），记 z1, z2, ..., z10 的样本平均数为 z̅，样本方差为 s^2。
（1）求 z̅，s^2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 z̅ ≥ 2√(s^2/10)，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）。

【答案】（1）z̅ = 11，s^2 = 61；
（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。
【解析】
（1）x̅ = (545+533+551+522+575+544+541+568+596+548)/10 = 552.3，
y̅ = (536+527+543+530+560+533+522+550+576+536)/10 = 541.3，
z̅ = x̅ - y̅ = 11。
zi 的值分别为: 9, 6, 8, -8, 15, 11, 19, 18, 20, 12，故 s^2 = [(9-11)^2 + (6-11)^2 + (8-11)^2 + (-8-11)^2 + (15-11)^2 + (11-11)^2 + (19-11)^2 + (18-11)^2 + (20-11)^2 + (12-11)^2]/10 = 61。
（2）由（1）知: z̅ = 11，2√(s^2/10) = 2√6.1 ≈ 4.94，故 z̅ = 11 > 4.94，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。

（12分）
记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和，已知 a2 = 11，S10 = 40。
（1）求 {an} 的通项公式；
（2）求数列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。

【答案】（1）an = 13 - 2n；
（2）Tn = { 12n - n^2, n ≤ 6, n^2 - 12n + 72, n ≥ 7 }。
【解析】
（1）设等差数列 {an} 的公差为 d，由题意可得 { a1 + d = 11, 10a1 + 45d = 40 }，解得 { a1 = 13, d = -2 }，所以 an = 13 - 2n。
（2）因为 an = 13 - 2n，令 an ≥ 0，解得 n ≤ 6.5，且 n ∈ N*，当 n ≤ 6 时，an > 0；当 n ≥ 7 时，an < 0。当 n ≤ 6 时，Tn = (13 + 13 - 2n)n/2 = 12n - n^2；当 n ≥ 7 时，Tn = (a1 + a6) × 6 / 2 - (a7 + an) × (n-6) / 2 = 36 - ((-1) + (13 - 2n)) × (n-6) / 2 = n^2 - 12n + 72。综上所述，Tn = { 12n - n^2, n ≤ 6, n^2 - 12n + 72, n ≥ 7 }。

（注：文科数学试卷第19、20、21、22、23题因篇幅原因未完整展示，可查阅原卷获取完整内容。）

二、2023年全国乙卷理科数学真题及解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设 z = (2 + i) / (1 + i^2 + i^5)，则 z̅ = ( )
A. 1 - 2i
B. 1 + 2i
C. 2 - i
D. 2 + i

【答案】B
【解析】由题意可得 z = (2 + i) / (1 - 1 + i) = (2 + i)/i = (2i - 1)/(-1) = 1 - 2i，则 z̅ = 1 + 2i。故选B。

设集合 U = R，集合 M = {x | x < 1}，N = {x | -1 < x < 2}，则 {x | x ≥ 2} = ( )
A. ∁U (M ∪ N)
B. N ∪ (∁U M)
C. ∁U (M ∩ N)
D. M ∪ (∁U N)

【答案】A
【解析】由题意可得 M ∪ N = {x | x < 2}，则 ∁U (M ∪ N) = {x | x ≥ 2}，选项 A 正确。故选A。

如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30

【答案】D
【解析】如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 2，AA1 = 3，点 H，I，J，K 为所在棱上靠近点 B1，C1，D1，A1 的三等分点，O，L，M，N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体 ABCD - A1B1C1D1 去掉长方体 ONIC1 - LMHB1 之后所得的几何体。该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2 × (2 × 2) + 4 × (2 × 3) - 2 × (1 × 1) = 30。故选D。

已知 f(x) = (x e^x) / (e^(ax) - 1) 是偶函数，则 a = ( )
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

【答案】D
【解析】因为 f(x) = (x e^x) / (e^(ax) - 1) 为偶函数，则 f(x) - f(-x) = 0，又因为 x 不恒为0，可得 e^x / (e^(ax) - 1) + e^(-x) / (e^(-ax) - 1) = 0，整理得 (e^x (e^(ax) - 1) + e^(-x) (e^(ax) - 1)) / ((e^(ax) - 1)(e^(-ax) - 1)) = 0，化简得 (e^(ax) - 1)(e^x + e^(-x)) = 0，即 e^(ax) = 1，所以 a = 2。故选D。

设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域 {(x,y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4} 内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA 的倾斜角不大于 π/4 的概率为（ ）
A. 1/8
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/2

【答案】C
【解析】因为区域 {(x,y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4} 表示以 O(0,0) 为圆心，外圆半径 R=2，内圆半径 r=1 的圆环，则直线 OA 的倾斜角不大于 π/4 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ∠MON = π/4，结合对称性可得所求概率 P = (π/4 × 2) / (2π) = 1/4。故选C。

已知函数 f(x) = sin(ωx + φ) 在区间 [π/6, 2π/3] 单调递增，直线 x = π/6 和 x = 2π/3 为函数 y = f(x) 的图像的两条对称轴，则 f(-5π/12) = ( )
A. -√3/2
B. -1/2
C. 1/2
D. √3/2

【答案】D
【解析】因为 f(x) = sin(ωx + φ) 在区间 [π/6, 2π/3] 单调递增，所以 T/2 = 2π/3 - π/6 = π/2，且 ω > 0，则 T = π，ω = 2π/T = 2，当 x = π/6 时，f(x) 取得最小值，则 2 × π/6 + φ = 2kπ - π/2，k ∈ Z，则 φ = 2kπ - 5π/6，k ∈ Z，不妨取 k = 0，则 f(x) = sin(2x - 5π/6)，则 f(-5π/12) = sin(-5π/6 - 5π/6) = sin(-5π/3) = sin(π/3) = √3/2。故选D。

甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种
B. 60种
C. 120种
D. 240种

【答案】C
【解析】首先确定相同的读物，共有 C6^1 = 6 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 A5^2 = 20 种，根据分步乘法公式则共有 6 × 20 = 120 种。故选C。

已知圆锥 PO 的底面半径为 √3，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，∠AOB = 120°，若 △