2023全国甲卷数学高考真题及答案已公布！含试题分析

2023年全国甲卷数学高考真题及答案（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪(∁UM)=（ ）
A. {2,3,5} B. {1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
答案：A

5(1+i³)/((2+i)(2-i)) =（ ）
A. -1 B. 1 C. 1-i D. 1+i
答案：C

已知向量a=(3,1)，b=(2,2)，则cos(a+b, a-b)=（ ）
A. 1/17 B. √17/17 C. √5/5 D. 2√5/5
答案：B

某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名。从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3
答案：D

记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=（ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
答案：C

执行下边的程序框图，则输出的B=（ ）
（程序框图略）
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
答案：B

设F1，F2为椭圆C：x²/5+y²=1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2=0，则|PF1|·|PF2|=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
答案：B

曲线y=e^x/(x+1)在点(1, e/2)处的切线方程为（ ）
A. y=e/4 x B. y=e/2 x C. y=e/4 x+e/4 D. y=e/2 x+3e/4
答案：C

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√5，其中一条渐近线与圆(x-2)²+(y-3)²=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A. √5/5 B. 2√5/5 C. 3√5/5 D. 4√5/5
答案：D

在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=√6，则该棱锥的体积为（ ）
A. 1 B. √3 C. 2 D. 3
答案：A

已知函数f(x)=e^-(x-1)²。记a=f(√2/2)，b=f(√3/2)，c=f(√6/2)，则（ ）
A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
答案：A

函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+π/6)的图象向左平移π/6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=1/2 x-1/2的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

记Sn为等比数列{an}的前n项和。若8S6=7S3，则{an}的公比为________。
答案：-1/2

若f(x)=(x-1)²+ax+sin(x+π/2)为偶函数，则a=________。
答案：2

若x，y满足约束条件：3x-2y≤3，-2x+3y≤3，x+y≥1，则z=3x+2y的最大值为________。
答案：15

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________。
答案：[2√2, 2√3]

三、解答题：共70分。

（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b²+c²-a²)/cosA=2。
（1）求bc；
（2）若(acosB-bcosA)/(acosB+bcosA)=b/c=1，求△ABC面积。
答案：（1）bc=2；（2）面积=√3/2

（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°。
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A-BB1C1C的高。
答案：（1）证明略；（2）高为1

（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）。
（数据略）
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，完成列联表；
（ii）根据列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
答案：（1）19.8；（2）（i）m=23.4，列联表略；（ii）有95%的把握认为有差异

（12分）已知函数f(x)=ax-sinx/cos²x，x∈(0,π/2)。
（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)+sinx<0，求a的取值范围。
答案：（1）f(x)在(0,π/2)单调递减；（2）a≤0

（12分）已知直线x=2y+1与抛物线C：y²=2px(p>0)交于A，B两点，|AB|=4√15。
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM·FN=0，求△MFN面积的最小值。
答案：（1）p=2；（2）面积最小值为12-8√2

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知点P(2,1)，直线l：x=2+tcosα，y=1+tsinα（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|·|PB|=4。
（1）求α；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程。
答案：（1）α=3π/4；（2）ρ(cosθ+sinθ)=3

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设a>0，函数f(x)=2|x-a|-x。
（1）求不等式f(x)<x的解集；
（2）若曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a。
答案：（1）解集为(0,2a)；（2）a=1

试题分析

2023年高考数学全国甲卷全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展。

在考查重点方面，试卷突出理性思维，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养。试题体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

在情境创设方面，试卷设计了现实生活情境和科学研究情境。如理科第6题取材于滑冰和滑雪两项典型的冰雪运动，贴近生活；理科第9题以志愿者报名参加公益活动的情境考查排列组合内容；文理科第19题研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，进行独立性检验。

在能力考查方面，试卷重点考查逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养。如理科第15题要求通过想象与简单计算确定球面与正方体棱的公共点个数；理科第21题将导数与三角函数巧妙结合，深入考查分类讨论和化归转化思想。

在落实“双减”方面，试卷反套路、反机械刷题，突出对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力。