已知函数f（x）满足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，则（　　） A. f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减 B. f（x）是偶函数且在（0，+∞）上

已知函数f（x）满足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，则（　　） A. f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减 B. f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增 C. f（x）是奇函数且单调递减 D. f（x）是奇函数且单调递增

好，我们先分析已知条件。

已知对任意 $x, y \in \mathbb{R}$ ，

f(x + y) = f(x) + f(y)

这是柯西方程（Cauchy 函数方程）。
如果 $f$ 是连续的，或者满足单调性条件，则解是 $f(x) = ax$ 。
不过这里我们不知道连续，但给了第二条 $x > 0 \implies f(x) > 0$ ，可以推出是单调的，因为——

由 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ 可得：

令 $y = 0$ 得 $f(x) = f(x) + f(0)$ 即 $f(0) = 0$ 。

令 $y = -x$ 得 $f(0) = f(x) + f(-x)$ 即 $f(-x) = -f(x)$ 。

所以 $f$ 是奇函数。

再考虑单调性：
已知 $x > 0 \implies f(x) > 0$ 。

要证递增：
设 $a > b$ ，则 $a - b > 0$ 有 $f(a - b) > 0$ 。
又由加法性质：

f(a) = f(b + (a-b)) = f(b) + f(a-b)

所以 $f(a) - f(b) = f(a-b) > 0$ ，因此 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。
所以 $f$ 单调递增。

A. 偶函数且递减 ❌（偶函数与奇函数冲突，递减与递增冲突）
B. 偶函数且递增 ❌（偶函数不可能从题中推出）
C. 奇函数且递减 ❌（条件 $x>0 \Rightarrow f(x) > 0$ 若 $f$ 递减，正 $x$ 时 $f(x)$ 最大，但递减不是）
D. 奇函数且递增 ✅

\boxed{D}