一艘轮船载重量是460吨,容积是1000立方米,现有甲种货物450立方米,乙种货物350吨,而甲种货物每吨体积 2.5立方米,乙种货物每立方米重0.5吨,问是否都能装上船?如果不能,说明理由.并求出为

一艘轮船载重量是460吨,容积是1000立方米,现有甲种货物450立方米,乙种货物350吨,而甲种货物每吨体积 2.5立方米,乙种货物每立方米重0.5吨,问是否都能装上船?如果不能,说明理由.并求出为了最大限度的利用船的载重量和体积,两种货物应各装多少?
1. 题意整理

• 轮船载重量：460460 吨

• 轮船容积：10001000 立方米

• 甲种货物：体积 450450 立方米，每吨体积 2.52.5 立方米 → 每吨体积 2.52.5 立方米 ⇒ 1 立方米 = 0.40.4 吨

• 乙种货物：质量 350350 吨，每立方米重 0.50.5 吨 ⇒ 1 吨体积 22 立方米

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2. 先判断“全部装下”是否可能

甲货物：

• 质量：450÷2.5=180450÷2.5=180 吨

• 体积：450450 立方米

乙货物：

• 质量：350350 吨

• 体积：350×2=700350×2=700 立方米

全部装下需要：

• 总质量：180+350=530180+350=530 吨 >460>460 吨

• 总体积：450+700=1150450+700=1150 立方米 >1000>1000 立方米

结论： 不能全部装上，因为载重量和容积都超了。

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3. 设未知数

设甲货物装 xx 吨，乙货物装 yy 吨。

甲货物体积：2.5x2.5x 立方米
乙货物体积：2y2y 立方米

约束条件：

{x+y≤460(载重量约束)2.5x+2y≤1000(容积约束)x≥0, y≥0⎩⎨⎧​x+y≤4602.5x+2y≤1000x≥0, y≥0​(载重量约束)(容积约束)​

要“最大限度利用船的载重量和容积”，通常指：

• 装货尽量多（重量或者尽量多利用容积）

• 但这里两个约束条件通常不会同时取等，因为比例不同。

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4. 把约束化为 x, y 关系

从重量约束：y≤460−xy≤460−x
从体积约束：2.5x+2(460−x)≤10002.5x+2(460−x)≤1000 代入 y=460−xy=460−x 吗？
等等，这里要先找同时满足两个约束的可行域。

由 x+y=460x+y=460 代入体积约束：

2.5x+2y=2.5x+2(460−x)=2.5x+920−2x=0.5x+9202.5x+2y=2.5x+2(460−x)=2.5x+920−2x=0.5x+920

令 0.5x+920=1000⇒0.5x=80⇒x=1600.5x+920=1000⇒0.5x=80⇒x=160 吨
此时 y=460−160=300y=460−160=300 吨

所以刚好同时满足载重量和容积（同时达到限制）的点是：

(x,y)=(160,300)(x,y)=(160,300)

• 载重量：160+300=460160+300=460 吨 ✅

• 容积：2.5×160+2×300=400+600=10002.5×160+2×300=400+600=1000 立方米 ✅

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5. 是否还有其他点优于这个点？

我们想 尽可能多装，但“尽量利用载重量和容积”通常指不能浪费载重量和容积。
两个约束都是 ≤≤，所以“最大限度利用”即让两个约束同时取等号（资源无浪费）。

刚才的点 (160,300)(160,300) 就同时取等。

但检查：甲货物可以装更多吗？

如果 x>160x>160，则 2.5x+2y>10002.5x+2y>1000，超出容积；如果 x<160x<160，则 y>300y>300 超载重量？我们看一下：

• 若 x=150x=150 吨，由重量约束 y≤310y≤310，体积 2.5x+2y=375+2y≤10002.5x+2y=375+2y≤1000 ⇒ 2y≤6252y≤625 ⇒ y≤312.5y≤312.5
  所以 yy 最多 310（由重量约束），此时容积 = 375+620=995375+620=995，有浪费 5 立方米容积。

• 若 x=180x=180 吨（甲总质量），则重量约束 y≤280y≤280，体积 450+2y≤1000450+2y≤1000 ⇒ 2y≤5502y≤550 ⇒ y≤275y≤275
  所以最多 y=275y=275，容积 = 450+550=1000450+550=1000 立方米 ✅ 重量 180+275=455180+275=455，差 5 吨载重量没装满。

显然不是同时取等。所以同时取等才能最充分利用两个资源。

因此 (160,300)(160,300) 吨 是同时装满载重量和容积的解。

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6. 最后答案

(160,300)(160,300)​

甲货物装 160160 吨（相当于 160×2.5=400160×2.5=400 立方米），乙货物装 300300 吨（相当于 300×2=600300×2=600 立方米），可恰好用完 460 吨载重量和 1000 立方米容积，最大限度地利用轮船。