已知KMnO4的相对分子质量为158.04，k545nm=2.2×103，今在545nm处用浓度为0.0020%KMnO4溶液，3.00Cm比色皿测得透射比为( )。 A. 15% B. 83% C.

已知KMnO4的相对分子质量为158.04，k545nm=2.2×103，今在545nm处用浓度为0.0020%KMnO4溶液，3.00Cm比色皿测得透射比为( )。 A. 15% B. 83% C. 25% D. 53%

好的，我们一步步来推理。

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1. 已知条件整理

$\text{KMnO}_4$ 的相对分子质量 $M = 158.04\ \text{g/mol}$

$k_{545\ \text{nm}} = 2.2 \times 10^{3}$ （这里的 $k$ 应该是摩尔吸光系数 $\varepsilon$，单位为 $\text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{cm}^{-1}$）

浓度 $c$ 为 $0.0020\%$ KMnO₄ 溶液

比色皿厚度 $b = 3.00\ \text{cm}$

波长 $\lambda = 545\ \text{nm}$

求透射比 $T$

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2. 把质量百分比浓度转化为摩尔浓度

0.0020% 意味着每 100 g 溶液中含有 $0.0020\ \text{g}$ KMnO₄。
但通常我们算体积摩尔浓度时，假设溶液密度约 $1.00\ \text{g/mL}$ （稀水溶液）。

所以 100 g 溶液 ≈ 100 mL = 0.100 L。
溶质质量 $m = 0.0020\ \text{g}$。

$$n = \frac{0.0020}{158.04} \ \text{mol}$$$$c = \frac{n}{0.100\ \text{L}} = \frac{0.0020}{158.04 \times 0.100} \ \text{mol/L}$$

先算：

$$n = \frac{0.0020}{158.04} \approx 1.2655\times 10^{-5}\ \text{mol}$$$$c = \frac{1.2655\times 10^{-5}}{0.100} = 1.2655\times 10^{-4}\ \text{mol/L}$$

即：

$$c \approx 1.266\times 10^{-4}\ \text{mol/L}$$

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3. 使用朗伯-比尔定律

$$A = \varepsilon b c$$$$\varepsilon = 2.2\times 10^{3}\ (\text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{cm}^{-1})$$$$b = 3.00\ \text{cm}$$$$c \approx 1.266\times 10^{-4}\ \text{mol/L}$$$$A = (2.2\times 10^{3}) \times 3.00 \times 1.266\times 10^{-4}$$

先算 $2.2\times 10^{3} \times 3.00 = 6.6\times 10^{3}$
再乘浓度：

$$6.6\times 10^{3} \times 1.266\times 10^{-4} = 6.6 \times 1.266 \times 10^{-1}$$$$6.6 \times 1.266 = 8.3556$$$$8.3556\times 10^{-1} = 0.83556$$

所以：

$$A \approx 0.8356$$

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4. 由吸光度 $A$ 求透射比 $T$

$$A = -\log_{10} T$$$$T = 10^{-A} = 10^{-0.8356}$$

计算：

$$0.8356 = \log_{10} x \implies x \approx 6.847 \ (\text{这是 } 1/T ? \ \text{不，直接算})$$

用近似：

$$10^{-0.8356} = 10^{-0.8} \times 10^{-0.0356}$$$$10^{-0.8} \approx 0.15849$$$$10^{-0.0356} \approx e^{-0.0356 \times \ln 10} \approx e^{-0.0356 \times 2.302585}$$$$-0.0356 \times 2.302585 \approx -0.08197$$$$e^{-0.08197} \approx 0.9214$$

所以：

$$T \approx 0.15849 \times 0.9214 \approx 0.1460$$

精确一些的估算：
已知 $10^{-0.835}$ 可以用计算器心算推：
$10^{-0.83} \approx 0.1479$，$10^{-0.84} \approx 0.1445$，差值线性插值：
$0.8356$ 更靠近 $0.84$ 一点，所以 $T \approx 0.145$ 左右，大约是 14.5%。

这似乎和选项 A. 15% 接近。

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5. 验证检查

可能我算的浓度要核对下：
0.0020% 是重量百分比，密度=1，所以 1 L 溶液质量 1000 g，KMnO₄ 质量：

$$0.0020\% = \frac{0.0020\ \text{g}}{100\ \text{g} \text{ soln}}$$

1000 g 溶液 → $m = 1000\times 0.000020 = 0.020\ \text{g}$ 每升。

因此：

$$c = \frac{0.020}{158.04} \ \text{mol/L} \approx 1.2655\times 10^{-4} \ \text{mol/L}$$

没错，和之前一致，因为之前我算的是 100 mL 中含 0.0020 g，1000 mL 中含 0.020 g。

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6. 重算 $A$

$$A = 2.2\times 10^{3} \times 3.00 \times 1.2655\times 10^{-4}$$$$2.2\times 10^{3} \times 1.2655\times 10^{-4} = 2.2\times 1.2655 \times 10^{-1} = 0.27841 \times 10^{0}?$$

等一下，我糊涂了，还是分步算准：

$\varepsilon = 2200$，
$b = 3$，
$c = 0.00012655\ \text{mol/L}$

$$\varepsilon c = 2200 \times 0.00012655 = 0.27841$$

再乘 $b = 3$：

$$A = 0.27841 \times 3 = 0.83523$$

和前面一样。

所以 $T = 10^{-0.83523}$ 确实约 0.146，即 14.6%。

选项中最接近的是 15%。

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7. 结论

$$\boxed{A}$$

透射比约为 15%。