祖暅利用牟合方盖求出了（）。A、椎体的表面积 B、椎体的体积 C、球的表面积 D、球的体积

祖暅利用牟合方盖求出了（）。A、椎体的表面积 B、椎体的体积 C、球的表面积 D、球的体积

祖暅利用牟合方盖求出了球的体积。这一成就通过他提出的“祖暅原理”实现，其核心思想是“幂势既同，则积不容异”——即两个等高几何体若在所有等高处的截面积相等，则体积相等。

祖暅的推导过程极具创造性：他沿用刘徽设计的“牟合方盖”模型（由两个等径圆柱垂直相交形成的立体），将其外切于正方体，并将球体嵌入其中。通过分析八分之一牟合方盖在高度$h$处的横截面积$a^2 = r^2 - h^2$（$r$为球半径），发现该截面积与正方体截面面积的差值恰等于一个同底等高立方锥的截面积$h^2$。根据祖暅原理，牟合方盖体积与外切正方体体积的关系可通过立方锥体积（$\frac{1}{3}r^3$）推算，最终得出牟合方盖体积为$\frac{16}{3}r^3$。

已知球体积与牟合方盖体积之比为$\pi:4$，祖暅进一步推导出球体积公式$V = \frac{4}{3}\pi r^3$（或$V = \frac{\pi}{6}d^3$，$d$为直径）。这一成果比西方卡瓦列利原理早1100余年，标志着中国古代数学在体积计算领域的巅峰成就。

从刘徽的“牟合方盖”构想到祖暅原理的应用，这一跨越两个世纪的接力，展现了中国古代数学家对空间几何的深刻洞察。若将几何体视为“无限层截面的累积”，祖暅的方法已暗含积分思想的雏形——这种将复杂问题转化为可比较量的智慧，至今仍在数学研究中闪耀光芒。