当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有（）

当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有（）

当总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 时，无论样本量大小如何，样本均值 $\bar{X}$ 都严格服从正态分布。这是统计学中的一个核心结论，其分布参数与总体参数和样本量直接相关：样本均值的期望等于总体均值 $\mu$，方差等于总体方差除以样本量 $\frac{\sigma^2}{n}$。

用数学公式表示为：

$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

其中 $n$ 为样本量，$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 是样本均值。这个结论无需依赖中心极限定理，后者主要适用于总体非正态分布的情况。

在实际应用中，这一性质使得我们可以直接构造均值的置信区间或进行假设检验，无需等待样本量增大。例如，当已知某产品重量服从正态分布时，即使只抽取10个样本，其平均重量仍服从正态分布，可直接计算误差范围。这一确定性关系为小样本推断提供了理论基础，也是正态分布在统计分析中占据核心地位的重要原因。