在正四棱锥s-ABCD中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球半径R与内切球半径r的比值为（ ） A. 5 B. C. 10 D.

在正四棱锥s-ABCD中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球半径R与内切球半径r的比值为（ ） A. 5 B. C. 10 D.

用户现在需要解决的是正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为θ（这里题目可能漏了角度值，不过根据选项和常见题型，可能是60°或者其他特殊角，不过先看看问题），求外接球半径R与内切球半径r的比值。选项有A.5，B.（可能漏了），C.10，D.（也漏了）。不过先不管选项，先理清楚思路。

首先，正四棱锥的定义：底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心。设底面正方形边长为a，高为h，斜高（侧面三角形的高）为l'。侧面与底面所成的角就是侧面与底面的二面角，这个二面角的平面角可以通过斜高、高和底面中心到边的距离（即底面正方形边心距）来构成直角三角形。底面正方形的边心距（中心到边的距离）是d = (a/2)，因为底面是正方形，边长a，中心到边的距离就是边长的一半的一半？不对，正方形的中心到边的距离，比如ABCD是正方形，中心为O，边AB的中点为M，那么OM就是边心距，OM = (a/2)，因为从中心到边，水平方向是边长的一半的一半？不，正方形边长a，中心O到顶点A的距离（外接圆半径）是(√2 a)/2 = a√2/2，而中心到边的距离（内切圆半径）是a/2，对，因为边AB的方程如果设坐标，比如以O为原点，AB在x轴上方，那么AB的方程是y = a/2，所以中心O到AB的距离就是a/2，没错。

侧面与底面所成的二面角，取侧面SAB，底边AB的中点M，连接OM、SM，那么OM⊥AB，SM⊥AB（因为侧面是等腰三角形，SAB是等腰三角形，M是AB中点，所以SM是斜高），所以∠SMO就是侧面与底面所成的二面角的平面角，设为α（题目里说“侧面与底面所成角为”，可能用户输入时漏了角度，比如常见的60°，或者arctan√3之类的，不过根据后面的选项是5、10这些整数，可能α是60°，先假设α=60°，看看能不能算出R/r为整数）。

在Rt△SOM中，∠SMO=α，SO=h（棱锥的高），OM = a/2（底面边心距），所以tanα = SO / OM = h / (a/2) = 2h/a，所以h = (a/2)tanα。这是高h和底面边长a的关系。

接下来，内切球半径r：正四棱锥的内切球（与底面和四个侧面都相切），球心在高SO上，设球心为O'，则O'O = r（因为球与底面相切，所以球心到底面距离为r，而高是h，所以球心到顶点S的距离是h - r）。内切球半径可以通过体积法求：体积V = (1/3)×底面积×高 = (1/3)×a²×h。同时，体积也等于内切球半径r乘以表面积的1/3（对于棱锥，V = (1/3)×r×S表面积，这里S表面积是底面积加侧面积）。不过要注意，是否包括底面积？因为内切球与底面和侧面都相切，所以接触面积是底面和四个侧面，所以表面积应该是侧面积加底面积。

侧面积：4个全等的等腰三角形，每个面积是(1/2)×a×l'，其中l'是斜高SM，在Rt△SOM中，SM = √(h² + (a/2)²) = l'，或者cosα = OM / SM = (a/2)/l'，所以l' = (a/2)/cosα，或者sinα = h / l'，所以l' = h / sinα。侧面积S侧 = 4×(1/2)×a×l' = 2a l'。底面积S底 = a²。所以表面积S表 = S侧 + S底 = 2a l' + a²。

体积V = (1/3) r S表，所以r = 3V / S表 = 3×(1/3 a² h) / (2a l' + a²) = (a² h) / (a(2 l' + a)) = (a h)/(2 l' + a)。

外接球半径R：正四棱锥的外接球，球心也在高SO上（因为对称性），设球心为O''，则O''到底面顶点A的距离等于O''到顶点S的距离等于R。设球心到底面的距离为d，则d = |h - R|或者d = R - h，取决于球心在高的哪个位置。如果顶点S在球心下方，则SO'' = R，O''O = d = h - R；如果球心在顶点S上方，则O''O =