函数y=f（x）的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 π 2 个单位长度，所得到的曲线是y= 1 3 sinx的图象，求函数y=f（x）的解析式．

函数y=f（x）的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 π 2 个单位长度，所得到的曲线是y= 1 3 sinx的图象，求函数y=f（x）的解析式．

要确定函数$y = f(x)$的解析式，需对已知变换过程进行逆向推导。题目中，$f(x)$先经横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位后得到$y = \frac{1}{3}\sin x$。因此，我们从结果$y = \frac{1}{3}\sin x$出发，通过逆变换（先逆向平移，再逆向伸缩）反推原函数。

第一步：逆向平移（向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位）

原变换的第二步是“向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位”，其逆操作是向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位。对于函数$y = \frac{1}{3}\sin x$，向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位后，得到：
$y = \frac{1}{3}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$

第二步：逆向伸缩（横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$）

原变换的第一步是“横坐标伸长到原来的2倍”，其逆操作是横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（即对自变量$x$进行系数为2的伸缩）。对于上一步得到的函数\(y = \frac{1}{3}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\)，缩短横坐标后，得到：
\(y = \frac{1}{3}\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)\)

化简解析式

利用三角函数诱导公式\(\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\theta\)，化简\(\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)\)：
\(\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2x\)
代入上式得：
\(y = \frac{1}{3}(-\cos 2x) = -\frac{1}{3}\cos 2x\)

验证结果

为确保正确，正向验证变换过程：

对\(f(x) = -\frac{1}{3}\cos 2x\)进行横坐标伸长到原来的2倍，得\(y = -\frac{1}{3}\cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{3}\cos x\)；

再向左平移\(\frac{\pi}{2}\)个单位，得\(y = -\frac{1}{3}\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\)。
由于\(\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x\)，因此\(y = -\frac{1}{3}(-\sin x) = \frac{1}{3}\sin x\)，与题目条件一致。

结论：函数\(y = f(x)\)的解析式为\(\boxed{-\dfrac{1}{3}\cos 2x}\)。