在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（ ） A. 5 B. C. 10 D.

在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（ ） A. 5 B. C. 10 D.

在正四棱锥中，侧面与底面所成角为$\frac{\pi}{3}$（60°）时，外接球半径$R$与内切球半径$r$的比值可通过几何关系与代数运算结合求解。核心思路是：设底面边长为参数，利用二面角求出棱锥的高、斜高和侧棱长，再分别计算内切球和外接球半径，最后得出比值。

设正四棱锥底面边长为$a$。由于侧面与底面所成角为60°，底面中心与边的距离（边心距）为$\frac{a}{2}$，斜高（侧面三角形的高）与边心距构成含60°角的直角三角形，因此斜高等于$a$，棱锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。侧棱长可通过勾股定理求得：$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ 。

内切球半径\(r\)可利用侧面等腰三角形的内切圆半径计算。侧面三角形为底边长\(a\)、腰长\(\frac{\sqrt{5}}{2}a\)的等腰三角形，其内切圆半径（即棱锥内切球半径）为\(\frac{\sqrt{3}}{6}a\)。这一结果也可通过体积分割法验证：棱锥体积\(V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a^3\)，表面积\(S = a^2 + 4 \times \frac{1}{2} \times a \times a = 3a^2\)，由\(V = \frac{1}{3}Sr\)可得\(r = \frac{3V}{S} = \frac{\sqrt{3}}{6}a\) 。

外接球的球心位于棱锥的高线上。设外接球半径为\(R\)，球心到顶点距离为\(R\)，到底面中心距离为\(\frac{\sqrt{3}}{2}a - R\)。底面外接圆半径（即中心到顶点距离）为\(\frac{\sqrt{2}}{2}a\)，根据勾股定理：\(R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}a - R)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2\)。解得\(R = \frac{5\sqrt{3}}{12}a\) 。

因此，外接球与内切球半径的比值为：

\(\frac{R}{r} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{12}a}{\frac{\sqrt{3}}{6}a} = \frac{5}{2}\)

最终答案为\(\boxed{D}\)。这一结果展示了正棱锥中几何量之间的和谐关系，也体现了空间几何体中“由面及体”“由线及球”的转化思想。思考：若将二面角改为其他角度，这一比值会如何变化？是否存在通式表达？