关于正交矩阵，下列叙述正确的是( ). A. 正交矩阵一定是可逆矩阵 B. 正交矩阵不一定可逆. C. 正交矩阵的行列式一定等于1. D. 正交矩阵的行列式一定等于 .

关于正交矩阵，下列叙述正确的是( ). A. 正交矩阵一定是可逆矩阵 B. 正交矩阵不一定可逆. C. 正交矩阵的行列式一定等于1. D. 正交矩阵的行列式一定等于 .

正交矩阵的核心定义是满足 $A^T A = I$（其中 $A^T$ 为转置矩阵，$I$ 为单位矩阵）的方阵。基于这一性质，可直接推导其关键特征：

可逆性分析

由定义 $A^T A = I$ 可知，正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵，即 $A^{-1} = A^T$。逆矩阵存在则矩阵必可逆，因此正交矩阵一定是可逆矩阵。

行列式分析

对等式 \(A^T A = I\) 两端取行列式，有：
\(\det(A^T A) = \det(I)\)
由于 \(\det(A^T) = \det(A)\)，左侧可化为 \(\det(A^T) \cdot \det(A) = [\det(A)]^2\)，右侧 \(\det(I) = 1\)，故 \([\det(A)]^2 = 1\)，解得 \(\det(A) = \pm 1\)。行列式不仅可能为1，也可能为-1，并非唯一确定。

选项判断

A. 正交矩阵一定是可逆矩阵：正确（逆矩阵为其转置）。

B. 正交矩阵不一定可逆：错误（逆矩阵 \(A^T\) 恒存在）。

C. 正交矩阵的行列式一定等于1：错误（行列式可为±1）。

D. （表述不完整）：若为“行列式一定等于-1”同样错误，因行列式有两种可能取值。

正确答案：A

思考：若正交矩阵的行列式为-1，它在几何变换中代表什么？（提示：涉及反射变换）