分布函数的性质有哪些? A. 非负有界 B. 单调不减 C. 规范性（极端极限归零和归一性） D. 右连续性

分布函数的性质有哪些? A. 非负有界 B. 单调不减 C. 规范性（极端极限归零和归一性） D. 右连续性

分布函数（CDF）是描述随机变量概率分布的核心工具，其定义为 $F(x) = P\{X \leq x\}$（即随机变量 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率）。根据概率论基本公理和大量文献验证，分布函数必须同时满足以下四个关键性质：

1. 非负有界性

分布函数的值域被严格限制在 [0, 1] 区间内。这是因为 $F(x)$ 本质是概率，而概率值必然满足 $0 \leq P\{X \leq x\} \leq 1$。例如，当 \(x\) 趋近于负无穷时，事件 \(\{X \leq x\}\) 几乎不可能发生，此时 \(F(x) \to 0\)；当 \(x\) 趋近于正无穷时，事件 \(\{X \leq x\}\) 几乎必然发生，此时 \(F(x) \to 1\) 。这一性质在文献中被总结为“非负性”，并通过概率的基本定义直接推导得出。

2. 单调不减性

对于任意实数 \(x_1 \leq x_2\)，必有 \(F(x_1) \leq F(x_2)\)。直观理解：若 \(x_1\) 小于 \(x_2\)，则“\(X \leq x_1\)”是“\(X \leq x_2\)”的子集事件，而概率具有单调性（子集事件的概率不超过全集事件的概率）。数学上可表示为 \(\{X \leq x_1\} \subset \{X \leq x_2\}\)，因此 \(P\{X \leq x_1\} \leq P\{X \leq x_2\}\) 。这一性质是分布函数的核心特征，在所有文献中均被列为基本性质之一。

3. 规范性（极端极限性质）

分布函数在无穷远处的极限值具有明确规范：

左极限：\(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\)，即随机变量取值小于负无穷的概率为0；

右极限：\(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\)，即随机变量取值小于正无穷的概率为1。

这一性质可通过概率的连续性公理证明：例如，考虑事件序列 \(A_n = \{X \leq n\}\)（\(n\) 为正整数），随着 \(n\) 增大，\(A_n\) 单调递增并最终覆盖整个样本空间 \(\Omega\)，因此 \(\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(\Omega) = 1\) 。文献将其称为“规范性”，并指出这是判断函数是否为分布函数的必要条件。

4. 右连续性

对于任意实数 \(x_0\)，分布函数在 \(x_0\) 处的右极限等于该点的函数值，即 \(F(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)\)。这一性质由概率的连续性公理推导得出：考虑事件序列 \(A_n = \{X \leq x_0 + 1/n\}\)，随着 \(n\) 增大，\(A_n\) 单调递减并最终收敛到 \(\{X \leq x_0\}\)，因此 \(\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(\{X \leq x_0\}) = F(x_0)\) 。需注意，分布函数不要求左连续，这与定义 \(F(x) = P\{X \leq x\}\) 中“小于等于”的不等号方向直接相关。

总结：题目选项的正确性

根据上述分析：

A. 非负有界：正确，分布函数的值域为 [0, 1] ；

B. 单调不减：正确，由事件包含关系和概率单调性推导得出 ；

C. 规范性（极端极限归零和归一性）：正确，即 \(\lim_{x \to \pm\infty} F(x) = 0, 1\) ；

D. 右连续性：正确，由概率的连续性公理严格证明 。

所有选项均正确。这些性质共同构成了分布函数的定义基础，且缺一不可——文献明确指出，满足这四条性质的函数才能被称为“累积分布函数”，而文献中“分布函数不需要单调不减性”的说法与主流理论矛盾，应为错误表述。理解这些性质有助于深入掌握随机变量的概率分布规律，例如通过右连续性可分析离散型随机变量在跳跃点处的概率值。