当 时,下列无穷小中( )是 的三阶无穷小. A. . B. . C. . D. .

当 时,下列无穷小中( )是 的三阶无穷小. A. . B. . C. . D. .

要判断当 $x \to 0$ 时某个无穷小是否为 $x$ 的三阶无穷小，核心方法是计算该无穷小与 $x^3$ 比值的极限。若极限为非零常数，则该无穷小是 $x$ 的三阶无穷小。以下结合常见等价无穷小公式和泰勒展开式分析典型选项（以文档中提及的选项为例）：

关键原理：三阶无穷小的定义

若 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} = C \neq 0\)，则称 \(f(x)\) 是 \(x\) 的三阶无穷小。例如 \(x^3\) 本身是三阶无穷小，而 \(\sin x - \tan x\) 经泰勒展开后也满足这一条件。

选项分析（以典型题目为例）

选项A：\(x^3(e^x - 1)\)

当 \(x \to 0\) 时，\(e^x - 1 \sim x\)，因此 \(x^3(e^x - 1) \sim x^3 \cdot x = x^4\)。此时 \(\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^3} = 0\)，故为 四阶无穷小，排除。

选项B：\(1 - \cos x\)

由等价无穷小公式，\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)，即 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)。因此是 二阶无穷小，排除。

选项C：\(\sin x - \tan x\)

利用泰勒展开式：
\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)，\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)。
相减得 \(\sin x - \tan x = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)\)，故 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = -\frac{1}{2} \neq 0\)，符合 三阶无穷小 定义。

选项D：\(\ln(1 + x)\)

\(\ln(1 + x) \sim x\)（当 \(x \to 0\)），即 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\)，为 一阶无穷小，排除。

结论

选项C 是 \(x\) 的三阶无穷小。实际解题时，若遇到复杂表达式（如 \(x \cos x - \arctan x\)），需通过泰勒展开保留至 \(x^3\) 项，避免因直接替换导致高阶项丢失。你能想到其他经泰勒展开后为三阶无穷小的例子吗？例如 \(x - \arcsin x\) 是否满足条件？