侧棱和底面边长都是3 的正四棱锥的外接球半径是__.

侧棱和底面边长都是3 的正四棱锥的外接球半径是__.

正四棱锥外接球的球心必在其高线上，通过底面中心与顶点构建直角三角形可求解半径。设正四棱锥底面边长为 $a=3$，侧棱长为 $m=3$，底面中心为 $O$，顶点为 $P$，则底面正方形对角线长 $AC=\sqrt{2}a=3\sqrt{2}$，底面中心到顶点距离 $OA=\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 。

在直角三角形 $PAO$ 中，棱锥高 $PO=\sqrt{PA^2-OA^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9\times2}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。设外接球球心为 $O'$，半径为 $R$，球心到顶点距离 $PO'=R$，到底面距离 $OO'=|PO-PO'|=|\frac{3\sqrt{2}}{2}-R|$。在直角三角形 $AO'O$ 中，由勾股定理 $R^2=OA^2+OO'^2$，即 $R^2=(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2}-R)^2$ 。

展开方程：$R^2=\frac{9\times2}{4}+\frac{9\times2}{4}-3\sqrt{2}R+R^2$，化简得 $0=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-3\sqrt{2}R$，解得 $R=\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。此时球心恰好与棱锥顶点重合，所有顶点到球心距离均为侧棱长3，验证得 $R=3$ 。

答案：3

该结果表明当正四棱锥高与底面外接圆半径相等时，外接球球心与顶点重合，半径等于侧棱长。这种特殊结构在正多面体与外接球关系中具有典型性，你能想到其他具有类似性质的几何体吗？