已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的 ，则双曲线的离心率是(　　) A. 2 B. 4 C. D.

已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的 ，则双曲线的离心率是(　　) A. 2 B. 4 C. D.

要求双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0,b>0$）的离心率，需结合焦点到渐近线的距离与焦距的关系推导。双曲线中，焦点坐标为$(\pm c,0)$（$c^2=a^2+b^2$），渐近线方程为$bx\pm ay=0$，焦距为$2c$，离心率$e=\frac{c}{a}$。

关键关系推导

焦点到渐近线的距离：取右焦点$(c,0)$与渐近线$bx - ay=0$，由点到直线距离公式得距离$d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
因$c^2=a^2+b^2$，故$\sqrt{a^2+b^2}=c$，代入得$d=\frac{bc}{c}=b$（即焦点到渐近线的距离等于虚半轴长$b$）。

距离与焦距的关系：题目中距离\(d\)是焦距的\(\frac{1}{4}\)，即\(b=\frac{1}{4}\times2c=\frac{c}{2}\)，故\(c=2b\)。

离心率计算：由\(c^2=a^2+b^2\)，将\(c=2b\)代入得\(4b^2=a^2+b^2\)，即\(a^2=3b^2\)。
又\(c^2=4b^2\)，故\(e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{4b^2}{3b^2}=\frac{4}{3}\)，解得\(e=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。

答案：D.