已知 为摆线的一拱 ，则 （ ）. A. B. C. D.

已知 为摆线的一拱 ，则 （ ）. A. B. C. D.

摆线一拱是指一个圆在直线上滚动一周时，圆周上定点形成的轨迹曲线段，其参数方程为 $\begin{cases} x = R(\theta - \sin\theta) \\ y = R(1 - \cos\theta) \end{cases}$，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$，$R$ 为圆的半径。这一曲线具有两个核心几何量可通过定积分计算：

弧长计算

根据参数方程的弧长公式 $S = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta$，对摆线求导得：

\(\frac{dx}{d\theta} = R(1 - \cos\theta)\)

\(\frac{dy}{d\theta} = R\sin\theta\)

代入弧长公式并化简：

\(\begin{align*}S &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{[R(1 - \cos\theta)]^2 + [R\sin\theta]^2} d\theta \\&= R\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1 - \cos\theta)} d\theta \\&= 2R\int_{0}^{2\pi} \sin\frac{\theta}{2} d\theta = 8R\end{align*}\)

结果显示，摆线一拱的弧长为 8R，是生成圆直径（2R）的4倍，且不依赖于圆周率π。

面积计算

摆线与x轴围成的面积可通过参数方程的定积分 \(A = \int_{x_1}^{x_2} y \, dx\) 计算，将 \(dx = R(1 - \cos\theta)d\theta\) 代入得：

\(\begin{align*}A &= \int_{0}^{2\pi} R(1 - \cos\theta) \cdot R(1 - \cos\theta) d\theta \\&= R^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos\theta)^2 d\theta \\&= R^2 \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{3}{2} - 2\sin\theta + \frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta\right) d\theta = 3\pi R^2\end{align*}\)

该面积为生成圆面积（\(\pi R^2\)）的3倍。

关键结论

摆线一拱的弧长为8R，面积为3πR²，这两个结果在几何学中具有特殊性：前者是有理数倍的半径，后者是生成圆面积的整数倍。若题目选项中包含这两个结果，可根据具体问题要求选择对应的答案。