sin（θ+75°）+cos（θ+45°）- 3 cos(θ+15°）=______．

sin（θ+75°）+cos（θ+45°）- 3 cos(θ+15°）=______．

要解决表达式 $\sin(\theta+75^\circ) + \cos(\theta+45^\circ) - \sqrt{3} \cos(\theta+15^\circ)$ 的值，可通过角度拆分和三角函数和角公式化简。关键思路是将所有角度统一为同一变量（设 $\alpha = \theta + 15^\circ$），再展开合并同类项。

步骤1：变量替换

设 $\alpha = \theta + 15^\circ$，则原式各项可改写为：

$\theta + 75^\circ = \alpha + 60^\circ$

$\theta + 45^\circ = \alpha + 30^\circ$

$\theta + 15^\circ = \alpha$

代入原式得：
$\sin(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha + 30^\circ) - \sqrt{3} \cos\alpha$

步骤2：展开三角函数项

利用正弦和角公式 \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\) 和余弦和角公式 \(\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\) 展开各项：

展开 \(\sin(\alpha + 60^\circ)\)：
\(\sin(\alpha + 60^\circ) = \sin\alpha \cos60^\circ + \cos\alpha \sin60^\circ\)
代入 \(\cos60^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)：
\(\sin(\alpha + 60^\circ) = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\)

展开 \(\cos(\alpha + 30^\circ)\)：
\(\cos(\alpha + 30^\circ) = \cos\alpha \cos30^\circ - \sin\alpha \sin30^\circ\)
代入 \(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\)：
\(\cos(\alpha + 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\)

步骤3：合并化简

将展开后的各项代入原式：
\(\left( \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha \right) - \sqrt{3}\cos\alpha\)

合并同类项：

\(\sin\alpha\) 项：\(\frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha = 0\)

\(\cos\alpha\) 项：\(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = 0\)

结论

所有项化简后相互抵消，结果为 0。