设有一批胡椒粉,每袋净重X(单位:克)服从正态分布.从中任取8袋,测得净重分别为:13.1,11.9,12.3,12.4,11.9,12.1,12.4,12.1,试求μ的置信度为0.99的置信区间。

设有一批胡椒粉,每袋净重X(单位:克)服从正态分布.从中任取8袋,测得净重分别为:13.1,11.9,12.3,12.4,11.9,12.1,12.4,12.1,试求μ的置信度为0.99的置信区间。

好的，我们来一步步计算这个问题。题目要求求正态分布总体均值 $\mu$ 的 0.99 置信区间，样本量 $n=8$，样本数据如下：

$$13.1, 11.9, 12.3, 12.4, 11.9, 12.1, 12.4, 12.1$$

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第一步：计算样本均值 $\bar{x}$

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$$

计算和：

$$13.1 + 11.9 + 12.3 + 12.4 + 11.9 + 12.1 + 12.4 + 12.1$$

逐步相加：

13.1 + 11.9 = 25.0

25.0 + 12.3 = 37.3

37.3 + 12.4 = 49.7

49.7 + 11.9 = 61.6

61.6 + 12.1 = 73.7

73.7 + 12.4 = 86.1

86.1 + 12.1 = 98.2

所以样本和为 98.2

$$\bar{x} = \frac{98.2}{8} = 12.275$$

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第二步：计算样本标准差 $s$

样本方差公式：

$$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

计算每个 $x_i - \bar{x}$：

13.1 - 12.275 = 0.825

11.9 - 12.275 = -0.375

12.3 - 12.275 = 0.025

12.4 - 12.275 = 0.125

11.9 - 12.275 = -0.375

12.1 - 12.275 = -0.175

12.4 - 12.275 = 0.125

12.1 - 12.275 = -0.175

平方：

$0.825^2 = 0.680625$

$(-0.375)^2 = 0.140625$

$0.025^2 = 0.000625$

$0.125^2 = 0.015625$

$(-0.375)^2 = 0.140625$

$(-0.175)^2 = 0.030625$

$0.125^2 = 0.015625$

$(-0.175)^2 = 0.030625$

求和：

$$0.680625 + 0.140625 = 0.82125$$$$0.82125 + 0.000625 = 0.821875$$$$0.821875 + 0.015625 = 0.8375$$$$0.8375 + 0.140625 = 0.978125$$$$0.978125 + 0.030625 = 1.00875$$$$1.00875 + 0.015625 = 1.024375$$$$1.024375 + 0.030625 = 1.055$$$$s^2 = \frac{1.055}{8-1} = \frac{1.055}{7} \approx 0.1507$$$$s = \sqrt{0.1507} \approx 0.388$$

​≈0.388

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第三步：查 t 分布临界值

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第四步：计算置信区间

置信区间公式：

​s​

先计算标准误：

​s​=8

​0.388​=2.8280.388​≈0.1372

乘以 t 值：

置信区间：

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✅ 最终答案

\boxed{[11.80, 12.76]}\] (四舍五入到两位小数)---如果你想，我可以画一个直观的 **正态置信区间图**，让你直观理解这 0.99 置信区间。 你想让我画吗？