某住宅区有12家住户，他们的门牌号码分别是1，2，3，…，12。他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除。已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9

某住宅区有12家住户，他们的门牌号码分别是1，2，3，…，12。他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除。已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除，问这一家的电话号码是什么数( ) A.360369 B.388089 C.393706 D.482040

1. 题意整理

有 12 家住户，门牌号1,2,…,121,2,…,12。

电话号码是12 个连续的六位自然数，分别对应门牌号 1 到 12。

第kk家的电话号码能被kk整除(k=1,2,…,12k=1,2,…,12)。

电话号码首位数字小于 6(即首位可能是 1~5)。

门牌号是 9 的那家电话号码还能被 13 整除。

问：门牌号 9 的电话号码是多少。

2. 数学抽象

设 12 个连续六位自然数为：

N,N+1,N+2,…,N+11N,N+1,N+2,…,N+11

对应门牌号kk的电话号码是N+k−1N+k−1。

条件：

k∣(N+k−1),k=1,2,…,12k∣(N+k−1),k=1,2,…,12

即：

N+k−1≡0(modk)N+k−1≡0(modk)N−1≡0(modk)N−1≡0(modk)

所以：

N−1能被k整除,k=1,2,…,12N−1能被k整除,k=1,2,…,12

即：

N−1是lcm(1,2,…,12)的倍数.N−1是lcm(1,2,…,12)的倍数.

3. 求最小公倍数

lcm(1,2,…,12)lcm(1,2,…,12)

质因数分解：

2：最大23=823=8来自 8

3：最大32=932=9来自 9

5：来自 5,10

7：来自 7

11：来自 11

所以：

lcm=23⋅32⋅5⋅7⋅11lcm=23⋅32⋅5⋅7⋅11

计算：

8×9=72,72×5=360,360×7=2520,2520×11=277208×9=72,72×5=360,360×7=2520,2520×11=27720

所以：

lcm(1,…,12)=27720lcm(1,…,12)=27720

因此：

N−1=27720×m,m∈Z+N−1=27720×m,m∈Z+N=27720m+1N=27720m+1

4. 六位数且首位小于 6

NN是六位数：

100000≤27720m+1≤999999100000≤27720m+1≤99999999999≤27720m≤99999899999≤27720m≤999998m≥⌈99999/27720⌉=⌈3.61⌉=4m≥⌈99999/27720⌉=⌈3.61⌉=4m≤⌊999998/27720⌋=⌊36.07⌋=36m≤⌊999998/27720⌋=⌊36.07⌋=36

所以m=4,5,…,36m=4,5,…,36。

5. 首位数字小于 6

N=27720m+1N=27720m+1，首位数字小于 6 意味着：

N<600000N<60000027720m+1<60000027720m+1<60000027720m<59999927720m<599999m<599999/27720≈21.64m<599999/27720≈21.64

所以m≤21m≤21。

同时N≥100000N≥100000已满足(m≥4m≥4)。

所以m=4,5,…,21m=4,5,…,21。

6. 门牌 9 的电话能被 13 整除

门牌 9 的电话号码是：

N+8=27720m+1+8=27720m+9N+8=27720m+1+8=27720m+9

条件：

13∣(27720m+9)13∣(27720m+9)

先算27720 mod 1327720mod13：

13×2132=27716,27720−27716=413×2132=27716,27720−27716=4

所以：

27720≡4(mod13)27720≡4(mod13)

条件：

4m+9≡0(mod13)4m+9≡0(mod13)4m≡−9≡4(mod13)(因为−9+13=4)4m≡−9≡4(mod13)(因为−9+13=4)4m≡4(mod13)4m≡4(mod13)m≡1(mod13)m≡1(mod13)

7. 结合mm的范围

m=4,5,…,21m=4,5,…,21且m≡1(mod13)m≡1(mod13)。

可能的mm：

m=1,14,27,…m=1,14,27,…

在 4~21 内只有m=14m=14。

8. 计算NN及门牌 9 的电话

N=27720×14+1=388080+1=388081N=27720×14+1=388080+1=388081

门牌 9 的电话：

N+8=388081+8=388089N+8=388081+8=388089

9. 验证选项

选项 B 是 388089。

检查首位数字：388089 首位 3 < 6，符合。

验证整除性：

门牌 9：388089 ÷ 9 = 43121，整除。

门牌 13 条件：388089 ÷ 13 = 29853，整除。

其他门牌也自动满足，因为N−1N−1是 lcm(1..12) 的倍数。

最终答案：B​