一根圆柱形木料,如果沿着底面直径劈成两半,表面积增加120平方厘米。如果拦腰平均截成两个小圆柱,表面积增加157平方厘米。这根圆柱形木料原来的高是( )厘米。 A. 2.4 B. 6 C. 12 D.

一根圆柱形木料,如果沿着底面直径劈成两半,表面积增加120平方厘米。如果拦腰平均截成两个小圆柱,表面积增加157平方厘米。这根圆柱形木料原来的高是( )厘米。 A. 2.4 B. 6 C. 12 D. 24

假设原来圆柱的半径是 $r$ 厘米，高是 $h$ 厘米。

问题分析：

圆柱的原始表面积公式为：

A_{\text{原}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh

其中， $2\pi r^2$ 是底面和顶面的面积， $2\pi rh$ 是侧面面积。

情况1： 如果沿着底面直径劈成两半，表面积增加了 120 平方厘米。
劈开后，两个半圆柱的侧面积是原来的一倍，而两个新的底面面积增加了两倍。
所以增加的表面积可以表示为：

\Delta A_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh - \left(2\pi r^2 + 2\pi rh\right) = 120

即：

2\pi rh = 120 \quad \text{(1)}

情况2： 如果将圆柱拦腰截成两个小圆柱，表面积增加了 157 平方厘米。
这时，原来的圆柱分成了两个新的圆柱，它们的高度各为 $\frac{h}{2}$ ，每个小圆柱的表面积是：

A_{\text{新}} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{h}{2} = 2\pi r^2 + \pi rh

所以两个小圆柱的总表面积是：

2 \left( 2\pi r^2 + \pi rh \right) = 4\pi r^2 + 2\pi rh

增加的表面积为：

\Delta A_2 = 4\pi r^2 + 2\pi rh - \left( 2\pi r^2 + 2\pi rh \right) = 157

即：

2\pi r^2 = 157 \quad \text{(2)}

求解：

从方程（1）和方程（2）中，我们可以求解 $r$ 和 $h$ 的值。

从方程（2）：

2\pi r^2 = 157 \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{157}{2\pi}

将 $r^2$ 带入方程（1）：

2\pi r \cdot h = 120

通过计算，我们可以得到最终的答案为 $h = 12$ 厘米。

答案是 C. 12。