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求棱长为1的正三棱锥体积

正三棱锥的棱长均为 1。

设正三棱锥为 $P-ABC$ ，底面为正三角形 $ABC$ ，棱长 $AB = BC = CA = 1$ ，侧棱 $PA = PB = PC = 1$ 。

1. 计算底面积

正三角形 $ABC$ 的边长 $a = 1$ ，面积

S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}.

$a ^{2} = 4 3$

$\times 1 ^{2} = 4 3$

$.$

$2. 计算底面正三角形的外心（重心）$

$正三角形外心与重心重合，该点到顶点的距离（外接圆半径）：$

R_{底} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

$a =$

$1 .$

$3. 计算正三棱锥的高$

$O$

$1 。$

$PA = 1$

PO^2 = PA^2 - OA^2 = 1^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

PO = \sqrt{\frac{2}{3}}.

V = \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABC} \times PO= \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{\frac{2}{3}}.

V = \frac{\sqrt{3}}{12} \times \sqrt{\frac{2}{3}}= \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{12 \times \sqrt{3}}= \frac{\sqrt{2}}{12}.

\boxed{\frac{\sqrt{2}}{12}}

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