怎么证明三元均值不等式?除了求差法.

三元均值不等式是指对于任意非负实数 $a, b, c$ ，有

\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c},

$,$

$a = b = c$

$下面给出几种不用“求差法”的证明方法。$

$方法一：利用二元均值不等式与变量替换$

$x, y, z \geq 0$

x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z = \frac12 (x + y + z) \left[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \right] \geq 0.

$于是$

x^3 + y^3 + z^3 \geq 3 x y z.

$x = \sqrt[3]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b}, \quad z = \sqrt[3]{c}$

$, y = 3 b$

$, z = 3 c$

$，代入上式得$

a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}.

$.$

$两边除以 3 即得。$

$方法二：利用琴生（Jensen）不等式$

$f(t) = \ln t$

$由 Jensen 不等式：$

\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3} \leq \ln\left( \frac{a + b + c}{3} \right).

$即$

\ln \sqrt[3]{a b c} \leq \ln\left( \frac{a + b + c}{3} \right).

$\leq ln (3 a + b + c) .$

$\ln$

\sqrt[3]{a b c} \leq \frac{a + b + c}{3}.

$\leq 3 a + b + c .$

$方法三：利用排序不等式或对称性$

$a, b, c$

$G = \sqrt[3]{a b c}$

$a = G x^3, b = G y^3, c = G z^3$

$\frac{G(x^3 + y^3 + z^3)}{3} \geq G$

$x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z = \frac12 (x + y + z) \sum (x - y)^2 \geq 0$

$方法四：逐步利用二元均值不等式$

$A = \frac{a + b + c}{3}$

$。$

$先由二元均值不等式：$

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}, \quad \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{b c}, \quad \frac{c + a}{2} \geq \sqrt{c a}.

$, \geq$

$.$

$将三式相乘：$

\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geq \sqrt{a^2 b^2 c^2} = (a b c)^{2/3} = G^2.

\frac{a+b}{2} \leq A? \quad 不对，这里要换思路。

$p = \sqrt[3]{a}, q = \sqrt[3]{b}, r = \sqrt[3]{c}$

\frac{a + b + c}{3} = \frac{p^3 + q^3 + r^3}{3}.

$p^3 + q^3 \geq 2 p q \cdot \frac{p+q}{2}?$

a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a).

a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a = \frac12 \left[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right] \geq 0.

$a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c \geq 0$