向量运算的公式和技巧如下：

一、向量的加减法
向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。具体计算时，将向量的对应坐标相加。
设向量 a = (x1, y1)，向量 b = (x2, y2)，则：
a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
a - b = (x1 - x2, y1 - y2)

二、向量的平行（共线）
两个向量平行也称为共线。向量 a 与向量 b 平行的充分必要条件是存在一个实数 λ，使得 a = λb。
用坐标表示时，若 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则平行条件为：
x1/y1 = x2/y2 （当 y1 ≠ 0 且 y2 ≠ 0）
更准确的条件是：x1*y2 - x2*y1 = 0

三、向量的垂直
两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零。
设向量 a = (x1, y1)，向量 b = (x2, y2)，则垂直条件为：
a · b = x1*x2 + y1*y2 = 0

四、向量的共线
向量的共线与平行是同一概念，判断方法相同。
三个点 A、B、C 共线的条件是向量 AB 与向量 AC 平行。

五、向量的相乘

数量积（点乘）：
两个向量的数量积是一个标量。
公式：a · b = |a| |b| cosθ
坐标运算：a · b = x1*x2 + y1*y2
其中 θ 是两向量间的夹角。

向量积（叉乘，仅适用于三维向量）：
两个向量的向量积是一个新向量，其方向垂直于原两向量所在的平面。
公式：|a × b| = |a| |b| sinθ
坐标运算：a × b = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)

运算技巧：

加减法运算时，确保向量维度相同

判断平行时，注意零向量的特殊情况

计算数量积时，可用于求向量间的夹角

向量垂直的判断可转化为数量积为零的验证

在处理几何问题时，可先将向量用坐标表示，再进行运算

记忆要点：

平行看比例：对应坐标成比例

垂直看点积：坐标乘积和为零

共线即平行，判断方法相同

点乘得标量，叉乘得向量（三维）