根据“机关用尽”这一提示，可以从成语的意思、笔画等方面考虑，给出两个可能的生肖，并进行解析。

1. 蛇

成语解析：
“机关用尽”字面意思是所有的技巧、手段都已经用完，陷入了困境或没有更多的办法可用。这个成语暗示一种在困境中的“无计可施”的状态。
蛇是一个与“机关用尽”相符合的生肖。蛇通常象征着机智与智慧，具有灵活的思维方式和出奇制胜的能力。成语“机关用尽”可以理解为蛇已经用尽了它的所有智慧和策略，或者是“蛇”这个动物在某些故事中用尽了它的所有伎俩，却最终仍然落败，反映了“无计可施”的困境。

2. 猴

成语解析：
“机关用尽”还可以与“猴”相关联。猴子以聪明、机灵、富有技巧而著称，常常能巧妙地应对各种复杂情况。成语“机关用尽”也可以形容猴子在聪明才智用尽后，可能陷入无法解决的困境。猴子的灵活与机敏让它能够迅速变化应对环境，但当所有办法都已经被使用之后，它也有可能面临“无计可施”的困境。这个成语与猴的形象也有一定的契合。

总结：

这两个生肖——蛇和猴——都能与“机关用尽”这个成语相联系。蛇代表着用尽智慧后的束手无策，猴则代表着巧妙策略后的困境。通过这种联想，成语的深层含义得到了充分体现。