成语“鸡犬不留”的意思是形容情况极为严峻，连家中的鸡狗都不剩，常用来形容事情被彻底扫荡、没有一物留下。这可以理解为一种极端的清除、彻底的打扫或剿除。
从成语的含义和对应的生肖来看，两个符合的生肖分别是鸡和狗。
鸡：作为成语中的一部分，“鸡”代表的是一种家禽，在“鸡犬不留”中，指的是连家中的鸡都没有留下，可以推测出与成语直接相关的生肖就是“鸡”。
狗：同样，成语中的“犬”就代表了狗。也就是成语字面上的另一个生肖。因此，“狗”也是合适的生肖。
这两个生肖与“鸡犬不留”直接挂钩，不仅符合字面意思，还能从成语的精神含义上找到联系。