分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（ ） A. V1=V2+V3 B. V12=V22+V32 C. = + D. = +

分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（ ） A. V1=V2+V3 B. V12=V22+V32 C. = + D. = +

好，我们先一步一步分析这个题。

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1. 理解题意

设直角三角形两直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，且

$$a^2 + b^2 = c^2, \quad a>0,\ b>0.$$

分别以三条边为轴旋转直角三角形一周，得到三种旋转体：

以斜边 $c$ 为轴：旋转时，三角形绕斜边转，所得旋转体是两个底面贴合的圆锥（或一个旋转体），我们记其体积为 $V_1$。

以直角边 $a$ 为轴：此时 $a$ 是轴，三角形是 $a$ 为一直角边，则旋转得到 一个圆锥，其高为 $a$，底面半径是另一条直角边 $b$。体积 $V_2$。

以直角边 $b$ 为轴：对称地，旋转得到一个高为 $b$、底面半径为 $a$ 的圆锥，体积 $V_3$。

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2. 计算 $V_2$ 和 $V_3$

以 $a$ 为轴时：
圆锥高 $h = a$，底面半径 $r = b$。

$$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi b^2 \cdot a = \frac{\pi a b^2}{3}.$$

以 $b$ 为轴时：
高 $h = b$，底面半径 $r = a$。

$$V_3 = \frac{1}{3} \pi a^2 \cdot b = \frac{\pi a^2 b}{3}.$$

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3. 计算 $V_1$（以斜边 $c$ 为轴）

这个稍微复杂一些。三角形绕斜边旋转时，斜边作为轴，三角形上每个点到斜边的距离是旋转半径，且这个三角形被斜边分成两个小直角三角形。

画图理解：设直角三角形 $ABC$，$\angle C = 90^\circ$， $AB = c$， $BC = a$， $CA = b$。
绕斜边 $AB$ 旋转一周时，顶点 $C$ 的轨迹是圆，该圆平面垂直于 $AB$，并且 $C$ 到 $AB$ 的垂足 $H$ 在线段 $AB$ 上（因为 $C$ 不在 $AB$ 上）。

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已知：斜边上的高 $h_c$（即 $CH$）满足

$$h_c = \frac{ab}{c}.$$

原因：面积 $\frac12 ab = \frac12 c h_c \implies h_c = \frac{ab}{c}$。

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绕 $AB$ 旋转时，两个小三角形 $ACH$ 和 $BCH$ 分别绕 $AB$ 旋转成两个圆锥：

圆锥 1：以 $A$ 为顶点，底面圆半径 $h_c$，高 $AH = \frac{b^2}{c}$（因为射影定理：$AH = \frac{b^2}{c}$，$BH = \frac{a^2}{c}$，且 $AH+BH=c$）。
体积 = $\frac13 \pi h_c^2 \cdot AH = \frac13 \pi \left(\frac{ab}{c}\right)^2 \cdot \frac{b^2}{c} = \frac13 \pi \frac{a^2 b^2 \cdot b^2}{c^3}$？等等，我检查一下。

不对：更清楚地来：
对 $\triangle ACH$ 旋转：顶点 $A$，底面半径 $CH = h_c$，高 $AH = \frac{b^2}{c}$。
体积 $V_{A} = \frac13 \pi (h_c)^2 \cdot AH = \frac13 \pi \left(\frac{ab}{c}\right)^2 \cdot \frac{b^2}{c} = \frac13 \pi \frac{a^2 b^4}{c^3}$。

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对 $\triangle BCH$ 旋转：顶点 $B$，底面半径 $CH = h_c$，高 $BH = \frac{a^2}{c}$。
体积 $V_{B} = \frac13 \pi (h_c)^2 \cdot BH = \frac13 \pi \left(\frac{ab}{c}\right)^2 \cdot \frac{a^2}{c} = \frac13 \pi \frac{a^4 b^2}{c^3}$。

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因此

$$V_1 = V_A + V_B = \frac13 \pi \frac{a^2 b^4 + a^4 b^2}{c^3}.$$

提取公因式：

$$a^2 b^2 (a^2 + b^2) = a^2 b^2 c^2 \quad\text{因为 } a^2+b^2=c^2。$$

于是：

$$V_1 = \frac13 \pi \frac{a^2 b^2 c^2}{c^3} = \frac13 \pi \frac{a^2 b^2}{c}.$$

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4. 比较 $V_1, V_2, V_3$

我们有：

$$V_2 = \frac{\pi a b^2}{3},\quad V_3 = \frac{\pi a^2 b}{3}.$$$$V_1 = \frac{\pi a^2 b^2}{3c}.$$

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选项 A： $V_1 = V_2 + V_3$？

$$V_2 + V_3 = \frac{\pi}{3} (a b^2 + a^2 b) = \frac{\pi ab}{3}(a+b).$$

一般 $a+b \neq \frac{ab}{c}$，所以不相等。例如取 $a=3,b=4,c=5$：

$$V_2 = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 16}{3} = 16\pi, \quad V_3 = \frac{\pi \cdot 9\cdot 4}{3} = 12\pi.$$

和 $=28\pi$。

$$V_1 = \frac{\pi \cdot 9\cdot 16}{3\cdot 5} = \frac{144\pi}{15} = 9.6\pi \neq 28\pi.$$

所以 A 不对。

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选项 B： $V_1^2 = V_2^2 + V_3^2$？

算数值：

$$V_2^2 = (16\pi)^2 = 256\pi^2,\quad V_3^2 = (12\pi)^2 = 144\pi^2,$$

和 $=400\pi^2$。

$V_1^2 = (9.6\pi)^2 = 92.16\pi^2$，不等于 $400\pi^2$，所以 B 错。

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选项 C：可能是 $\frac{1}{V_1^2} = \frac{1}{V_2^2} + \frac{1}{V_3^2}$？看看是否对一般 $a,b$ 成立。

数值：$1/V_2^2 = 1/(256\pi^2)$，$1/V_3^2 = 1/(144\pi^2)$，和 $= \frac{1}{144\pi^2} + \frac{1}{256\pi^2}$。

$$\frac{1}{144} + \frac{1}{256} = \frac{16+9}{2304} = \frac{25}{2304}.$$

而 $1/V_1^2 = 1/(92.16\pi^2)$，$92.16 = 9216/100 = 2304/25$。

所以 $1/V_1^2 = \frac{1}{(2304/25)\pi^2} = \frac{25}{2304\pi^2}$。

看，正好等于 $\frac{1}{144\pi^2} + \frac{1}{256\pi^2}$！

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代一般代数验证：

$$V_1 = \frac{\pi a^2 b^2}{3c}.$$$$V_2 = \frac{\pi a b^2}{3}, \quad V_3 = \frac{\pi a^2 b}{3}.$$$$\frac{1}{V_2^2} = \frac{9}{\pi^2 a^2 b^4},\quad \frac{1}{V_3^2} = \frac{9}{\pi^2 a^4 b^2}.$$$$\frac{1}{V_2^2} + \frac{1}{V_3^2} = \frac{9}{\pi^2} \left( \frac{1}{a^2 b^4} + \frac{1}{a^4 b^2} \right)= \frac{9}{\pi^2} \cdot \frac{a^2 + b^2}{a^4 b^4}.$$

但 $a^2+b^2=c^2$，所以：

$$\frac{1}{V_2^2} + \frac{1}{V_3^2} = \frac{9 c^2}{\pi^2 a^4 b^4}.$$$$\frac{1}{V_1^2} = \frac{9 c^2}{\pi^2 a^4 b^4}.$$

两者相等！

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因此正确关系是：

$$\frac{1}{V_1^2} = \frac{1}{V_2^2} + \frac{1}{V_3^2}.$$

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5. 对照选项

题中选项 C 看起来像是 $\frac{1}{V_1^2} = \frac{1}{V_2^2} + \frac{1}{V_3^2}$，C 的写法是
" = + " 可能缺了符号，但从常见结论可知就是这个倒数平方和关系。

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最终答案：

$$\boxed{C}$$