函数在点可导的充分必要条件是 A. 左导数存在 B. 右导数存在 C. 左导数和右导数都存在 D. 左导数和右导数都存在且相等

我们要判断函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的充分必要条件。

1. 回忆定义：
函数在 $x_0$ 可导，是指导数

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

存在且有限。
这个极限存在要求 左极限 与 右极限 都存在且相等。

2. 左右导数的定义：
左导数：

f'_{-}(x_0) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

右导数：

f'_{+}(x_0) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

3. 逻辑关系：

f'(x_0) \text{ 存在} \quad \Longleftrightarrow \quadf'_{-}(x_0) \text{ 存在 且 } f'_{+}(x_0) \text{ 存在 且 } f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)

仅左导数存在（A），不充分，因为右导数可能不存在或不相等。

仅右导数存在（B），同理不充分。

左右导数都存在（C），不充分，因为可能左右导数不相等（例子： $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处）。

左右导数都存在且相等（D）等价于导数存在，这就是充分必要条件。

4. 答案选择：
正确选项为 D。

\boxed{D}

函数 在点 可导的充分必要条件是 A. 左导数存在 B. 右导数存在 C. 左导数和右导数都存在 D. 左导数和右导数都存在且相等