设A、B均为n阶方阵,则下面结论正确的是( )。 A. 若A或B可逆,则AB必可逆 B. 若A或B不可逆,则AB必不可逆 C. 若A、B均可逆,则A+B必可逆 D. 若A、B均不可逆,若A+B必不可逆

好的，我们逐条分析一下。

已知： $A,B$ 是 $n$ 阶方阵。

A. 若 $A$ 或 $B$ 可逆，则 $AB$ 必可逆。

如果只有其中一个可逆，比如 $A$ 可逆， $B$ 不可逆（甚至 $B$ 可以是零矩阵），那么 $\det(AB) = \det(A)\det(B) = 0$ ，因为 $\det(B)=0$ ，所以 $AB$ 不可逆。

反例： $A = I$ ， $B = 0$ ，则 $A$ 可逆， $B$ 不可逆， $AB = 0$ 不可逆。

所以 A 错误。

B. 若 $A$ 或 $B$ 不可逆，则 $AB$ 必不可逆。

等价地说：只要 $A$ 和 $B$ 中至少有一个不可逆，那么 $AB$ 必不可逆。

这成立吗？

\det(AB) = \det(A)\det(B)

如果至少有一个 $\det = 0$ ，则 $\det(AB) = 0$ ，所以 $AB$ 不可逆。

正确。

C. 若 $A,B$ 均可逆，则 $A+B$ 必可逆。

反例： $A = I$ ， $B = -I$ ，两者均可逆，但 $A+B = 0$ 不可逆。

所以 C 错误。

D. 若 $A,B$ 均不可逆，则 $A+B$ 必不可逆。

反例：取

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quadB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

两者均不可逆（行列式 0）。但

A + B = I_2

可逆。

所以 D 错误。

验证 B 是否一定对

如果 $A$ 不可逆，则 $\det(A) = 0$ ，那么 $\det(AB) = 0$ ，所以 $AB$ 不可逆。

如果 $B$ 不可逆，则 $\det(B) = 0$ ，那么 $\det(AB) = 0$ ，所以 $AB$ 不可逆。

这里 “或” 是 “至少一个不可逆” 的意思，逻辑上对称，结论显然成立。

所以正确答案是 B。

\boxed{B}