【名词解释】二次曲面

【名词解释】二次曲面

好的，这是一个数学（特别是解析几何）中的重要概念。

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二次曲面

二次曲面 是指在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中，由三元二次方程

$$F(x, y, z) = 0$$

所表示的曲面，其中 $F(x, y, z)$ 是 $x, y, z$ 的二次多项式。

一般形式为：

$$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$

其中 $A, B, \dots, J$ 为常数，且二次项系数 $A, B, C, D, E, F$ 不全为零。

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主要特征

次数为 2
方程中各项次数最高为 2，且至少有一个二次项系数不为零。

标准型
通过坐标的平移与旋转（即正交变换），一般方程可以化为几种标准形式。标准型去掉了交叉项 $xy, xz, yz$ 以及部分一次项，从而便于识别曲面的几何类型。

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分类（根据标准型与惯性指数）

按标准型所表示的曲面形状，二次曲面主要可分为以下几类（非退化与退化情况）：

1. 椭球面类

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a, b, c > 0)$$

特殊情况：$a = b = c$ 时为球面。

点（虚椭球面）

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$$

仅实点 $(0,0,0)$。

虚曲面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$$

无实点。

2. 单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$

形状如双曲线旋转而成的曲面，有两条曲线族直母线（直纹面）。

3. 双叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$$

或写作

$$-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

由分离的两叶组成。

4. 椭圆抛物面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z \quad (a, b > 0)$$

开口向上（或取决于符号）的碗状曲面。

5. 双曲抛物面（马鞍面）

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$$

形状如马鞍，也是直纹面。

6. 二次锥面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$$

顶点在原点的锥面，可看作双曲面与椭球面的过渡。

7. 柱面类

椭圆柱面
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（无 $z$，沿 $z$ 轴延伸）

双曲柱面
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

抛物柱面
$x^2 = 2py$

8. 平面与相交平面等退化情形

例如 $x^2 - y^2 = 0$ 表示两张相交平面 $x = \pm y$。

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研究意义

是三维空间中除平面外最简单的曲面。

在物理学、工程学、计算机图形学中广泛出现（如光学镜面、天线反射面、轨道力学中的圆锥截曲面推广）。

可通过线性代数（矩阵对角化）系统分类，与二次型理论密切相关。一般方程可写为：

$$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0$$

其中 $A$ 为对称矩阵，对应二次型部分。