等比数列 的前 项和为 ,若公比 ,则 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

等比数列 的前 项和为 ,若公比 ,则 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

好，我们一步步来推理。

题目说：等比数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，若公比 $q = 2$，且

$$\frac{S_6}{S_3} = \ ?$$

选项是 5, 6, 7, 8，应该就是选一个。

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1. 等比数列前 $n$ 项和公式

等比数列首项 $a_1$ 公比 $q$，

$$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \ne 1)$$

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2. 代入 $q=2$

$$S_n = a_1 \frac{1-2^n}{1-2} = a_1 (2^n - 1)$$

因为 $1-2 = -1$，所以 $S_n = a_1 (2^n - 1)$。

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3. 计算 $\frac{S_6}{S_3}$

$$S_6 = a_1 (2^6 - 1) = a_1 (64 - 1) = 63 a_1$$$$S_3 = a_1 (2^3 - 1) = a_1 (8 - 1) = 7 a_1$$

因此

$$\frac{S_6}{S_3} = \frac{63 a_1}{7 a_1} = 9$$

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但这个 9 不在选项里，奇怪，除非题中给的 $\frac{S_6}{S_3} = ?$ 是已知某个值，然后让求 $n$ 之类？

看看题干“则 ( )”可能不是直接求 $\frac{S_6}{S_3}$ 的数值，而是已知 $\frac{S_6}{S_3} = 9$ 或类似的比？可是选项数字很小，不像是 9。

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4. 也可能他们考的是 $S_6 / S_3 = 9$，问 $S_9 / S_6$？

有时题是：公比 $q=2$，则 $S_6 / S_3$ = 9，再求 $S_9 / S_6$ 或类似。

$$S_9 = a_1 (2^9 - 1) = a_1 (512 - 1) = 511 a_1$$$$S_6 = 63 a_1$$$$\frac{S_9}{S_6} = \frac{511}{63}$$

不是整数，也不对。

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5. 可能原题是求 $S_{n+3} / S_n$ 固定为某值

当 $q=2$ 时，

$$\frac{S_{n+3}}{S_n} = \frac{2^{n+3} - 1}{2^n - 1}$$

如果 $n$ 足够大，比值接近 $2^3 = 8$，当 $n=3$ 时我们得到 $63/7 = 9$。
$n=2$ 时：

$$S_5/S_2 = (32-1)/(4-1) = 31/3 \approx 10.33$$

$n=1$ 时：

$$S_4 / S_1 = (16-1)/(2-1) = 15$$

都不是这些整数 5,6,7,8。

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6. 但是若忽略题目可能缺项，常见的结论：

当 $q \ne 1$，

$$S_m = a_1 \frac{1-q^m}{1-q}, \quad S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$$$\frac{S_m}{S_n} = \frac{1-q^m}{1-q^n}$$

这里 $q=2$，
如果 $m=6, n=3$，比值 $\frac{1-64}{1-8} = \frac{-63}{-7} = 9$，不是选项。

如果题是 已知 $S_6/S_3 = 9$，求 $q$，那是另一回事。现在已知 $q=2$，则是求 $S_6/S_3 = 9$，不在选项，说明可能我理解的题不一样。

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7. 看选项 5,6,7,8，接近 8

发现一个常见考点：若 $q=2$，则

$$\frac{S_{3m}}{S_m} = \frac{2^{3m}-1}{2^m-1} = 2^{2m} + 2^m + 1$$

当 $m=1$：$4+2+1=7$（选项有 7）
当 $m=2$：$16+4+1=21$（选项没有）
所以如果原题是 $q=2$，则 $S_3/S_1 = 7$。
如果原题是 $q=2$，则 $S_6/S_2 = (64-1)/(4-1)=63/3=21$，不是选项。
而 $S_4/S_2 = (16-1)/(4-1)=15/3=5$（选项有 5）
$S_5/S_2$ 已算不是整数。

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可能原题是“若公比 $q=2$，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}} = ?$”那就是 5。

但题给的是“前 $n$ 项和为 $S_n$，若公比 $q=2$，则 ( )”，括号里选项 5,6,7,8，就是直接计算某个固定的比。
很可能考题就是 $\frac{S_4}{S_2}$，我猜常见题这种是 5。

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常见教材题：
$q=2$ 时，$\frac{S_4}{S_2} = \frac{2^4-1}{2^2-1} = \frac{15}{3} = 5$，选项 A 是 5。

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所以虽然原始题我没看到，但根据选项反推，最可能的答案就是：

$$\boxed{A}$$

也就是 5。