若 为 阶可逆矩阵, 为伴随矩阵,则行列式 ( ) A. B. C. D.

若 为 阶可逆矩阵, 为伴随矩阵,则行列式 ( ) A. B. C. D.

我们已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$A^*$ 是伴随矩阵（有时记作 $\text{adj}(A)$）。
伴随矩阵的一个常用公式是：

1. 题目条件与问题

题中说：

选项可能是 $A. \, 2^n |A|$ 之类的，需要确定一下具体选项，不过我们先算。

2. 已知公式

所以

3. 计算 $|2A^*|$

我们知道，对于 $n \times n$ 矩阵 $M$ 和标量 $k$，有 $|kM| = k^n |M|$。

先对 $A^*$ 取行列式：

而 $|A^{-1}| = \frac{1}{\det A}$，所以

4. 计算 $|2A^*|$

5. 用 $|A|$ 表示

因为 $\det A = |A|$，所以

6. 与选项对应

题目选项中常见的混淆是：

$2^n |A|^{n-1}$（正确）

$2^n |A|$（错）

$2 |A|^{n-1}$（错）

$2 |A|^n$（错）

所以正确答案为 $2^n |A|^{n-1}$。
若选项是：

A. $2 |A|^n$
B. $2^n |A|^{n-1}$
C. $2^n |A|$
D. $2 |A|^{n-1}$

则应选 B。

最终答案：